застосовується вже відома формула.
Формули подвійного кута виводяться з формули синуса і косинуса суми і різниці двох кутів, поклавши.
Суму і різниця тригонометричних функцій можна перетворити на витвір, використовуючи наступний приклад:
= {,} =
=,
але:
В
Таким чином:
В
Зауваження: при ознайомленні учнів з формулами слід домагатися від них промовляння словесних формулювань доказуваних формул.
Наприклад: сума синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса півсуми цих кутів на косинус полуразность.
У курсі алгебри 9 класу вивчається тема: "Елементи тригонометрії" (30 годин):
1) радіанне вимір кутів, sin, cos, tg довільного кута, їх знаходження за допомогою калькулятора;
2) основні тригонометричні тотожності:
В
Їх застосування для обчислення значень sin, cos, tg;
3) формули приведення; sin, cos суми і різниці двох кутів; sin і cos подвійного кута;
4) тотожні перетворення тригонометричних виразів; основна мета - сформувати вміння виконувати тотожні перетворення нескладних тригонометричних виразів з використанням формул, зазначених у програмі:
Розглянемо деякі приклади перетворень тригонометричних виразів:
Задача № 1.
Довести тотожність:
В
Перетворимо ліву частину і отримаємо, застосувавши формули приведення:
8cos4 + sin8 = 2sin8cos4 +2 sin4cos4 = 2cos4 (sin8 + sin4) = 4cos4sin6cos2, і т.д.
Завдання № 2.
Спростити вираз
а)
Можна застосувати формули пониження ступеня:
=
{скористаємося перетворенням різниці косинусів у твір за формулою:} =
В
б)
В
Задача № 3
Перетворити на твір:
а) cos5 + sin8 + cos9 + cos12 = (cos5 + cos12) + (cos8 + cos9) =
= 2cos17/2cos7/2 +2 cos17/2cos/2 = 2cos17/2 (cos7/2 + cos/2) =
= 4cos17/2cos2cos3/2 = 4cos3/2cos2cos17/2
б) 3 +4 cos4 + cos8 = 3 (1 + cos4) + (cos4 + cos8) = 6cos 2 2 +
+2 cos6cos2 = 2 cos2 (3cos2 + cos6) = 2cos2 ((cos2 + | cos6) +
+2 cos2) = 2cos2 (2cos4cos2 +2 cos2) = 4cos 2 2 (cos4 + cos2) =
= 4cos 2 2cos 2 2 = 8cos 4 2
Задача № 4
Знайти sin 4 + cos 4 , якщо відомо, що:
sin-cos = 1/2
sin 4 + cos 4 = (sin 2 + Cos 2 ) 2 -2sin 2 cos 2 = 1-2sin 2 cos 2 =
= 1-1/2sin 2 2 = {sin4-cos = 1/2 (sin-cos) 2 =
= 1-2sincos = 1/4sin2 = 3/4} =
Задача № 5
Обчислити:
В
sin =-cos (2arctg4/3) = {позначимо arctg4/3 через y, тоді отримаємо cos2y, який потрібно перетворити в тангенс половинного к...
