що трикутник, сторони якого належать дотичним у вершинах трикутника АВС до його описаного кола, гомотетічен трикутнику з вершинами в підставах висот трикутника АВС. p>
Рішення. Приймаються описану окружність за одиничну Керуючись формулами (20) і (19), отримуємо:
Перевіряємо здійснимість ознаки (35):
причому, тобто-дійсне число. Значить, трикутники і гомотетічни. p> 3адача 2. Два рівних однаково орієнтованих трикутника АВС і вписані в одну коло. Довести, що трикутник з вершинами в точках перетину прямих ВС і, СА і, AB і подібний даними трикутниках. p> Рішення. Надамо окружності рівняння. Вершини. трикутника служать образами вершин трикутника АВС при повороті на деякий кут. Тому Якщо-крапки перетинання прямих ВС і СА і АВ і відповідно, то на підставі (17) звідки Аналогічно
Залишилося перевірити умова (17): що робиться безпосередній підстановкою. p> 3адача 3 . Довести, що середини відрізків, що з'єднують відповідні вершини двох рівних і протилежно орієнтованих трикутників, колінеарні. p> Рішення. Для доказу даної задачі скористаємося:
1) Формулою (38), - необхідна і достатня умова рівності двох протилежно орієнтованих трикутників ABC і;
2) Формулою (4а) для точок M, N, P: (з умови задачі);
3) Формулою (11), - коллинеарности точок M, N, P:
Тепер простою перевіркою переконуємося в тому , що з 1) 2) 3).
пряма і коло НА ПЛОЩИНІ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ
Нехай довільній точці М площини комплексних чисел відповідає комплексне число. З рівностей і однозначно виражаються декартові координати х і у точки М через комплексні числа і:
(1)
Тому комплексні числа z і називаються сполученими комплексними координатами цієї крапки. p> Формули (1) дозволяють здійснити перехід від рівняння геометричної фігури в декартових координатах до її рівнянням в сполучених комплексних координатах. Однак зараз ми віддали перевагу безпосередній розгляд рівнянь в сполучених комплексних координатах. p> Геометричний зміст рівняння
Знайдемо безліч точок площини, пов'язані комплексні координати яких задовольняють рівняння
(2)
Спочатку виділимо особливий випадок, коли з = 0. Тоді маємо систему відносно і
друге рівняння якої виходить з першого переходом до зв'язаних числах. Зрівнюючи коефіцієнти при, шляхом вирахування другого рівняння з першого отримуємо:
Якщо, тобто , То рішенням отриманого рівняння, а значить, і рішенням вихідного рівняння буде єдине число z = 0. При рівняння напишемо у вигляді. Модулі лівої і правої частин рівні. Необхідно, щоб, звідки. Цій умові задовольняє кожна точка прямей m, що проходить через початок під кутом до дійсної осі (рис.1). Так, рівнянням
(3)
задається пряма прі і точка прі. p> Нехай тепер. Вільний член рівняння (2) можна завжди зробити дійсним числом шляхом множення обох ч...
