а нескінченно малих випадкових збурень з будь-якими розподіл.
В
Рис. 7. Криві нормального розподілу
Стосовно до вимірювань це означає, що нормальний розподіл випадкових похибок виникає тоді, коли на результат вимірювання діє безліч випадкових збурень, жодне з яких не є переважаючим. Практично, сумарний вплив навіть порівняно невеликого числа збурень призводить до закону розподілу результатів і похибок вимірювань, близькому до нормального.
У аналітичній формі нормальний закон розподілу виражається формулою
В
де х - випадкова величина; m x - математичне сподівання випадкової величини; Пѓ - середньоквадратичне відхилення (СКО), е = 2,71828 - підставу натурального логарифма; ПЂ = 3,14159. Перенісши початок координат у центр розподілу mx, і відкладаючи по осі абсцис похибка
О”x = x - m x , отримаємо криву нормального розподілу похибок
В
Для групи з n спостережень, розподілених за нормальним законом
В
Розглянемо кілька властивостей нормального розподілу похибок.
Крива нормального розподілу похибок симетрична щодо осі ординат. Це означає, що похибки, однакові за величиною, але протилежні за знаку, мають однакову щільність ймовірностей, тобто при великому числі спостережень зустрічаються однаково часто. Математичне сподівання випадкової похибки дорівнює нулю.
З характеру кривої випливає, що при нормальному законі розподілу малі похибки будуть зустрічатися частіше, ніж великі. Так, ймовірність появи похибок, укладаються в інтервал від 0 до О”x 1 (рис. 7), яка характеризується площею S 1 , буде значно більше, ніж вірогідність появи похибок в інтервалі від О”x 2 до О”x 3 (площа S 2 ). На рис. 8 зображені криві нормального розподілу з різними середніми квадратичними відхиленнями, причому Пѓ 1 > Пѓ 2 > Пѓ 3 .
В
Рис. 4.8. Розсіювання результатів спостережень
Порівнюючи криві між собою можна переконатися, що чим менше СКО, тим менше розсіювання результатів спостережень і тим більше вірогідність того, що більшість випадкових похибок у них буде мало.
Природно укласти, що якість вимірювань тим вище, чим менше СКО випадкових похибок. Якщо замість випадкової величини ввести так звану нормовану випадкову величину
В
то вона також буде розподілена по нормальному закону з центром розподілу m x , абсциса якого m x = 0, а Пѓ = 1. Тому формулу, що визначає щільність ймовірності, а також формулу функції розподілу величини t можна записати так:
В
Певний інтеграл із змінною верхньою межею, що має вигляд
В
і визначальний значення площі під кривою щільності ймовірності, називають функцією Лапласа.
Для неї справедливі наступні рівності:
Ф (- в€ћ) = -0,5; Ф (0) = 0...
