мають зазначену специфічну структуру (вектор ймовірностей фіналів р визначається значеннями r = s + k-2 невідомих параметрів .
Для перевірки цієї гіпотези, знайдемо оцінки максимальної правдоподібності для визначальних розглянуту схему невідомих параметрів. Якщо справедлива нульова гіпотеза, то функція правдоподібності має вигляд L (p) = де множник з від невідомих параметрів не залежить. Звідси за методом невизначених множників Лагранжа отримуємо, що шукані оцінки мають вигляд
Отже, статистика
В
L () при, оскільки число ступенів свободи у граничному розподілі дорівнює N-1-r = sk-1-(s + k-2) = (s-1) (k-1).
Отже, при досить великих n можна використовувати наступне правило перевірки гіпотези: гіпотезу Н відкидають тоді і тільки тоді, коли обчислене за фактичними даними значення t статистики задовольняє нерівності
Цей критерій має асимптотично (при) заданий рівень значимості і називається критерієм незалежності.
2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
.1 Рішення задач про типах збіжності
1. Довести, що з збіжності майже напевно слід збіжність за ймовірністю. Наведіть контрольний приклад, що показує, що зворотне твердження невірно. p> Рішення. Нехай послідовність випадкових величин збігається до випадкової величиною x майже напевно. Значить, для будь-якого? > 0
В
Так як, то
В
і з збіжності xn до x майже напевно випливає, що xn сходиться до x за ймовірністю, так як в цьому випадку
В
Але зворотне твердження не вірно. Нехай - послідовність незалежних випадкових величин, що мають одну і ту ж функцію розподілу F (x), рівну нулю при х? 0 і рівну при х> 0. Розглянемо послідовність
.
Ця послідовність сходиться до нуля за ймовірністю, так як
В
прагне до нуля при будь-якому фіксованому? і. Однак збіжність до нуля майже напевно мати місце не буде. Дійсно
В В
прагне до одиниці, тобто з імовірністю 1 при будь-яких і n в послідовності знайдуться реалізації, що перевершують?.
Зазначимо, що за наявності деяких додаткових умов, що накладаються на величини xn, збіжність за ймовірністю тягне збіжність майже напевно.
. Нехай xn - монотонна послідовність. Довести, що в цьому випадку збіжність xn до x за ймовірністю спричиняє збіжність xn до x з імовірністю 1. p> Рішення. Нехай xn - монотонно спадаючий послідовність, тобто. Для спрощення наших міркувань будемо вважати, що x Вє 0, xn Ві 0 при всіх n. Нехай xn сходиться до x по ймовірності, проте збіжність майже напевно не має місце. Тоді існує? > 0, таке, що при всіх n
В
Але і сказане означає, що при всіх n
В
що суперечить збіжності xn до x по ймовірності. Таким чином, для монотонної послідовності xn, що сходиться до x за ймовірністю, має місце і збіжність з імовірністю 1 (майже напевно). p>. Нехай послідовність xn сходиться до x по ймовірності. Д...
