овести, що з цієї послідовності можна виділити послідовність, сходящуюся до x з імовірністю 1 при. p> Рішення. Нехай - деяка послідовність позитивних чисел, причому, і - такі позитивні числа, що ряд. Побудуємо послідовність індексів n1
В
Тоді ряд
,
Так як ряд сходиться, то при будь-якому? > 0 залишок ряду прагне до нуля. Але тоді прагне до нуля і
,
тобто.
. Довести, що з збіжності в середньому якого або позитивного порядку слід збіжність за ймовірністю. Наведіть приклад, що показує, що зворотне твердження невірно. p> Рішення. Нехай послідовність xn сходиться до величини x в середньому порядку р> 0, тобто
.
Скористаємося узагальненим нерівністю Чебишева: для довільних? > 0 і р> 0
.
Спрямувавши і враховуючи, що, отримаємо, що
,
тобто xn сходиться до x по ймовірності.
Однак збіжність за ймовірністю не тягне за собою збіжність в середньому порядку р> 0. Це показує наступний приклад. Розглянемо імовірнісний простір ГЎW, F, RГ±, де F = B [0, 1] - борелевская s-алгебра, R - міра Лебега. p> Визначимо послідовність випадкових величин таким чином:
В
Послідовність xn сходиться до 0 за ймовірністю, так як
,
але при будь-якому р> 0
,
тобто збіжність в середньому мати не буде. p>. Нехай, при чому для всіх n. Довести, що в цьому випадку xn сходиться до x в середньоквадратичному. p> Рішення. Зауважимо,, то й. Отримаємо оцінку для. Розглянемо випадкову величину. Нехай? - Довільне позитивне число. Тоді при і при. p> Значить,
.
Якщо, то і. Отже,. А оскільки? як завгодно мало і, то при, тобто в середньоквадратичному.
. Довести, що якщо xn сходиться до x по ймовірності, то має місце слабка збіжність. Наведіть контрольний приклад, що показує, що зворотне твердження невірно. p> Рішення. Доведемо, що якщо, то в кожній точці х, яка є точкою неперервності (це необхідна і достатня умова слабкої збіжності), - функція розподілу величини xn, а - величини x. p> Нехай х - точка безперервності функції F. Якщо, то справедливо принаймні одна з нерівностей або. Тоді
.
Аналогічно, при справедливо хоча б одна з нерівностей або і
,
Або
.
Звідки
.
Якщо, то для як завгодно малого? > 0 існує таке N, що при всіх п> N
.
Тоді
В
З іншого боку, якщо х - точка безперервності то можна знайти таке? > 0, що для як завгодно малого
В
і
.
Значить, для як завгодно малих? і існує таке N, що при п> N
,
або
,
або, що те ж саме,
.
Це означає, що у всіх точках безпер...
