ного власні значення скласти систему (2.4):
,,
і знайти власні вектори.
Зауваження. Кожному власному значенню відповідає один або кілька векторів. Оскільки визначник системи дорівнює нулю, то ранг матриці системи менше числа невідомих: і в системі є рівно незалежних рівнянь, а рівнянь є залежними. Для знаходження рішення системи слід вибрати рівнянь з невідомими так, щоб визначник складеної системи був відмінний від нуля. Решта невідомих слід перенести в праву частину і вважати параметрами. Надаючи параметрам різні значення, можна отримати різні рішення системи. Для простоти, як правило, поперемінно вважають значення одного параметра рівним 1, а інші 0. p> Приклад. Знайдіть власні числа і власні вектори матриці
В
Рішення. Складаємо характеристичну матрицю:
В
Знаходимо характеристичний многочлен
В В
Вирішимо характеристичне рівняння
В
Підбором знаходимо, що один корінь рівняння дорівнює. Є теорема, яка говорить, що якщо число є коренем многочлена, то многочлен ділиться на різницю, тобто, де-многочлен. Відповідно до цієї теоремою многочлен повинен ділитися на. Виділимо в характеристичному многочлене цей множник:
В
Знаходимо корені тричлена. Вони рівні і 3. Таким чином,
В
- корінь кратності 2 17.7 b, - простий корінь. Отже, власні числа матриці рівні,. Знайдемо відповідні їм власні вектори. Нехай, тоді для власного вектора одержуємо матричне рівняння
В
що відповідає системі рівнянь
В
Вирішуємо її методом Гауса (розділ "Алгоритм знаходження рішень довільної системи лінійних рівнянь (метод Гаусса)" <# "64" src = "doc_zip177.jpg"/>
Першу рядок, помножену на числа і додаємо відповідно до другої і третьої рядках
В
Міняємо місцями другу і третю рядки
В
Повертаємося до системи рівнянь
В
Базисний мінор матриці знаходиться в перших двох стовпцях і перших двох рядках, ранг дорівнює 2. Тому фундаментальною системою містить тільки одне рішення. Змінні і залишаємо в лівій частині, а змінне переносимо в праву частину
В
Вважаємо, знаходимо,. Отже, власному числу відповідає власний вектор. p> Нехай, тоді для власного вектора одержуємо матричне рівняння
В
що відповідає системі рівнянь
В
Вирішуємо її методом Гауса. Виписуємо розширену матрицю
В
Першу рядок множимо на числа 2 і 3 і додаємо відповідно до другої і третьої рядках
В
Другий рядок множимо на і додаємо до третьої
В
Повертаємося до системи рівнянь
В
Базисний мінор матриці знаходиться в перших двох стовпцях і перших двох рядках, ранг дорівнює 2. Тому фундаментальна система містить тільки одне рішення. Змінні і залишаємо в лівій частині, а змінне переносимо в праву частину
...
