В
Вважаємо, знаходимо,. Отже, власному числу відповідає власний вектор. Щоб позбутися від дробу, помножимо власний вектор на 2, отримаємо власний вектор з тим же самим власним числом. У підсумку власному числу відповідає власний вектор. p> Відповідь: Власні числа:,, відповідні власні вектори:,.
.2 Обчислювальні методи часткової проблеми власних значень
Метод ітерацій
Для вирішення часткової проблеми власних значень і власних векторів у практичних розрахунках часто використовується метод ітерацій (статечної метод). На його основі можна визначити наближено власні значення матриці А і спектральний радіус. p> Нехай матриця А має лінійно незалежних власних векторів, і власні значення матриці А такі, що
.
Статечної метод вирішення часткової проблеми власних значень.
Статечної метод застосовується для знаходження максимального за модулем власного значення матриці. k-е наближення до цього значення вичіслется так:
, (10.1)
Теорема 10.1. Нехай матриця A має повну систему з ортонормованих власних векторів ei, яким соответсвуют власні значення l (i), причому
| l (1) |> | l (2) | Ві ... Ві | l (n) | (тобто вектора занумеровані в порядку незростання модуля власного значення, причому власне значення l (1) - не кратне). p> Тоді ітераційний процес (10.1) сходиться до власного значенням l (1), причому
. (10.2).
При цьому величини сходяться до власного вектору e1 (c точністю до постійного множники, за модулем рівного 1):
. (10.3)
4. Програмне забезпечення деяких алгоритмів знаходження власних значень і власних векторів
Матриця як математичний об'єкт виникає при вирішенні конкретних обчислювальних завдань, і в першу чергу при вирішенні систем лінійних алгебраїчних рівнянь і задач на власні значення. Матриця у вигляді прямокутної таблиці чисел дуже схожа з масивом, однак прикладні завдання, які породжують матриці, визначають для них спеціальну сукупність допустимих операцій, серед яких особливе місце займає операція множення. Для простого випадку, коли множиться вектор-рядок на вектор-стовпець, такою операцією є операція скалярного твору. p align="justify"> Матриці широко використовуються при вирішенні звичайних диференціальних рівнянь (ОДУ) і рівнянь в приватних похідних, вирішенні оптимальних завдань і т. п.
Алгебраїчні задачі, пов'язані з матрицями, об'єднуються в розділ математики, що отримав назву лінійної алгебри, який включає такі базисні завдання, як звернення і псевдообернення матриць, спектральне і сингулярне розкладання матриць.
У обчислювальному плані розділ лінійної алгебри підтриманий пакетами прикладних програм LINPACK, EISPACK, розробленими в 60-70-ті роки провідними фахівцями, до числа яких належить і засновник фірми The MathWorks, Inc. Моулер (C....
