у книзі [Колмогоров, с.53]).
3.3 Внесок Нільса Генріка Абеля
Подальший розвиток теорії алгебраїчних рівнянь пов'язане з ім'ям норвезького математика Нільса Хенріка Абеля (1802-1829). Він здійснив доказ нерозв'язності в радикалах рівнянь вище п'ятого ступеня. p> Як було сказано раніше, пошуки підходящої форми ірраціональності для вирішення того чи іншого класу алгебраїчних рівнянь змінилися впевненістю, що, мабуть, це неможливо. Завдання обернулася; необхідним виявилося досліджувати найбільш загальні вирази, які містять радикали, з тим щоб з'ясувати, чи можуть вони бути виразами коренів алгебраїчного рівняння п'ятого ступеня. По цьому шляху і повів свої дослідження в самому кінці XVIII в. П. Руффіні. У 1799 р. він опублікував В«Загальну теорію рівнянь, в якій доводиться неможливість алгебраїчного рішення загальних рівнянь вище четвертого ступеняВ». Але перший реальний успіх випав на долю скромного Абеля. p> Ще в школі (близько 1820 р.) Абель зацікавився проблемою разрешимости рівнянь в радикалах. Один час йому здавалося, що він дав доказ можливості розв'язання в радикалах рівняння п'ятого ступеня. Незабаром з'ясувалося, що це доказ містило помилку. Але помилкове доказ співслужило свою хорошу службу. Абель отримав державну стипендію і можливість поїхати до Європи для удосконалення в математиці. p> Виправлене доказ з'явилося в 1824 р. в В«Мемуарах про алгебраїчних рівняннях, де доводиться неможливість розв'язання загального рівняння п'ятого ступеняВ». У нім Абель, мабуть незалежно від Руффіні, йшов тим же шляхом; він прагнув довести, що найбільш загальні вирази, які містять радикали, не можуть бути корінням загального алгебраїчного рівняння п'ятого ступеня. Цікаво, що це доказ Абеля страждало тим же недоліком, що і доказ Руффіні. Воно спиралося на припущення, що коріння резольвенти повинні раціонально виражатися через коріння даного рівняння. p> Тільки в 1826 р. в роботі Абеля В«Доказ неможливості алгебраїчної можливості розв'язання рівнянь, ступінь яких перевищує четвертуВ» багатовікова проблема отримала задовільний дозвіл.
У своїй роботі Абель зробив приблизно наступне:
1) Були побудовані найбільш загального вигляду алгебраїчні функції
В
де - просте, - алгебраїчні функції того ж порядку, що і, але ступеня не вище, чим. А також - алгебраїчна функція порядку на одиницю нижче, ніж, побудована так, що вона не виражається раціонально через. Стосовно до розглянутих конструкціям Абель довів, що якщо рівняння алгебраїчно вирішуваний, то його корені завжди можна дати такий вигляд, що все алгебраїчні функції, з яких він складається, виражаються через раціональні функції коренів даного рівняння. p align="justify"> 2) Було розглянуто питання про підстановках і про число різних значень, які при цьому можуть приймати функції декількох змінних.
) Було показано, що ніяке саме загальне ...
