об отримати коріння, тобто, повністю асиметричні функції. p> Радикали, тому, повинні деяким чином зменшувати симетрію, і молено бачити, що вони роблять в квадратичному випадку. Коріння
дорівнюють
В
І ми помічаємо, що симетричні функції та дають дві дві асиметричні функції, коли вводиться двозначний радикал.
Взагалі, введення радикалів примножує число значень функції на і ділить симетрію на в тому сенсі, що група перестановок, що залишає функцію незмінною, зменшується до своєї попередньої величини.
Вандермонда і Лагранж знайшли, що вони можуть пояснити попередні рішення кубічних і квадратних рівнянь на основі зменшення такої симетрії у відповідних групах підстановок і. Вони також знайшли деякі властивості підгруп. Однак, вони не змогли домогтися достатнього розуміння залежності між радикалами і підгрупами, щоб вирішити рівняння ступеня. br/>
3.2 Рішення рівняння розподілу кола
Карл-Фрідріх Гаус зробив свої перші відкриття в алгебрі ще зовсім молодою людиною під час навчання в Геттінгенському університеті (1795 -1798 роки). У березні 1796 р., займаючись завданням відшукання коренів рівняння він виявив зв'язок між цим завданням і діленням кола на рівні частини, довівши, що правильний 17-кутник можна вписати в коло за допомогою циркуля і лінійки. Відповідний алгебраїчний факт, що рівняння вирішуваний у квадратних радикалах, Гаусс узагальнив незабаром, знайшовши критерій можливості такої можливості розв'язання (рівняння вирішуваний для простого виду) і давши його геометричну інтерпретацію. p> При доведенні цієї групи пропозицій Гаусс розвинув методи, що послужили однією з вихідних точок при створенні теорії Галуа, за власним визнанням її автора.
Гаусс явно висловив, що мета його досліджень полінома
В
полягає в тому, щоб послідовно розкладати поліном на множники аж до лінійних, оголюючи при цьому структуру рівняння.
Гаус встановив, що рівняння ступеня, де просте, неприводимого в полі раціональних чисел і нормально над ним, тобто всі його коріння раціонально виражаються через один з них. Виявилося, що ці корені мають вигляд:, тобто що група автоморфізмів цього рівняння циклічна. Залишається лише один крок для того, щоб виявити, що будь-яка підгрупа циклічної групи є її нормальним дільником. Цей крок згодом зробив Галуа, врахував також вказівку Лагранжа, що підстановки коренів рівнянь вказують шлях до побудови їх загальної теорії. p> У книзі [Колмогорова] з приводу методу, застосованого Гауссом, говориться наступне: В«Значення досягнення Гаусса в теорії рівнянь дуже велике. Неявно тут вже грають свої ролі поняття поля, групи, базису поля над полем і, мабуть, навіть групи Галуа. Більше того, ймовірно, ці поняття і їх значення в теорії рівнянь були б набагато важче виявлені, якби у всіх перед очима не було б настільки глибоко і красиво розібраного Гауссом прикладу В». p> (Докладно метод Гаусса для вирішення рівняння розподілу кола викладено...
