же, - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ додатного функція, тому:
Тоді з іншого рівняння в результаті інтегрування в проміжку
Звідсі, ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4) при, маємо.
Отже,-монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ додатного функція, тоді аналогічно попередня доведемо, що. Доведемо, что і.
Оскількі-монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ додатного функція, то
Тоді з последнего рівняння системи отрімаємо:
Звідсі, ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4) при, маємо .. Розглянемо випадок. Тоді - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ від `ємна функція.А того з четвертого рівняння системи (1.2) маємо, что при, Звідки - монотонно спадної функція, тому при. Маємо два випадка або.
. Нехай.
Отже - монотонно спадної від `ємна функція, тому:
,
Тоді з третього рівняння в результаті інтегрування в проміжку, отрімаємо:
Звідсі, ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4), при, маємо.
Тому,.
Тоді з іншого рівняння маємо:
.
ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4), при маємо.
Тоді аналогічно з Першого рівняння маємо:
.
ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4), при, отримай, что, тоб, а це суперечіть припущені.
. Нехай тепер.
Тоді з третього рівняння віпліває, що - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ функція, и того при або.) Нехай. Тоді - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ функція и тоді:
Тоді з іншого рівняння маємо:
Звідсі, ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4) маємо, при,.
Отже,. З третього рівняння, а тому - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ додатного функція, Звідки:
З Першого рівняння системи (1.2) маємо:
Проінтегруємо Останню нерівність в проміжку:
.
ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4), при, маємо, тому.
Тоді з последнего рівняння маємо:
.
При, что суперечіть припущені, що.
Нехай. З третього рівняння, а тому - монотонно спадної функція и того Можливі два випадка або .. Нехай.
Тоді - монотонно спадної додатного функція
Тому,.
.
Тоді з последнего рівняння маємо:
.
При, что суперечіть припущені, що.
Нехай - монотонно спадної відємна функція,
Тому,.
.
Проінтегруємо Останню нерівність в проміжку, маємо:
.
ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4), при, отримай, что, тоб, а це суперечіть припущені.
Теорема 3.3
1. 0
2.
.
4.
.
.
де g (t)=min {t, (t)}.
Тоді КОЖЕН розвязок системи (1.2) або сильно осцілює, або Кожна его компонента монотонно прямує до нескінченності при
Доведення:
Если розвязок системи сильно осілює, то теорему доведено. Нехай система (1.2) має розвязок, Який НЕ є сильно осцілювальнім, тоб хочай б одна компоненту не осцілює. Тоді, за лемою, ВСІ компоненти не осцілють, тому починаючі з Деяк зберігають свой знак. Нехай для візначеності> 0. (Если <0 - доводимое аналогічно). З умови (3) маємо, Тоді з 5 - го рівняння системи (1.2) віпліває, что, тому - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ функція, тоді маємо два випадка або> 0 або <0 (). Розглянемо випадок...
