, коли> 0,
Доведемо, что ВСІ компоненти розвязка прямують до нескінченності при. Оскількі-монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ функція, то
, (> 0)
Тоді з 4-го системи (1.2) рівняння в результаті інтегрування в [], маємо:
Звідки, ВРАХОВУЮЧИ умову (2), при, маємо, що. Тоді - монотонно додатного ЗРОСТАЮЧИЙ функція, а тому.
Вікорістовуючі це та з 3-го рівняння системи (1.2) маємо:
ВРАХОВУЮЧИ умову (2) при, маємо, що. Тоді - монотонно додатного ЗРОСТАЮЧИЙ функція.
Аналогічно доводяться, что та - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ додатного функція І що.
Доведемо, що.
З нерівності (3.5) маємо:
Тоді з 3-го рівняння системи (1.2) маємо:
,.
Інтегруючі Цю нерівність в проміжку [], маємо:
Звідки:
Вікорістовуючі Цю нерівність та з 2-го рівняння системи (1.2) маємо:
,.
Інтегруючі Цю нерівність в проміжку [], маємо:
Звідки:
тому:
.
Звідсі віпліває, что:
З 5-го рівняння системи (1.2) маємо:
,
Інтегруючі Цю нерівність в проміжку [], маємо:
ВРАХОВУЮЧИ умову (4) при t, маємо:
. Розглянемо випадок, коли. Тоді з четвертого рівняння віпліває, что, то - монотонно спадної функція, тому або при
Нехай, отже - монотонно спадної функція.
Тоді:
, (> 0), а тому:
ВРАХОВУЮЧИ це з 3-го рівняння системи (1.2), інтегруючі Цю нерівність в [], маємо:
ВРАХОВУЮЧИ умову (2) при, маємо, что, а тоді - монотонно спадної відємна функція.
Тоді:
, (> 0),
а тому з іншого рівняння системи (1.2) маємо:
Звідсі віпліває
ВРАХОВУЮЧИ умову (2) при, маємо, что, а тоді - монотонно спадної відємна функція.
Тому:
, (> 0),
Тоді з 2-го рівняння системи (1.2) у результаті інтегрування, маємо:
ВРАХОВУЮЧИ умову (2) при, маємо, что, а тоді
А за нашим припущені> 0, то Прийшли до суперечності. Отже цею випадок Неможливо.
Нехай тоді з третього рівняння системи віпліває, що - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ функція, тому Можливі два випадка або> 0, або <0.
) Нехай <0. З 3-го рівняння системи (1.2) віпліває, що - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ відємна функція функція,.
Знову отримай два випадка або> 0, або <0.
. Розглянемо <0. З 2-го рівняння системи (1.2) віпліває, щомонотонно спадної відємна функція.
Тоді:
, (> 0),
А з 1-го рівняння системи (1.2) маємо, що. Інтегруючі Цю нерівність в [], маємо:
Звідсі віпліває:
ВРАХОВУЮЧИ умову (2) при, маємо, что, а тоді
Що суперечіть припущені. Таким чином цею випадок Неможливо.
. Розглянемо.
Тоді з четвертого рівняння, маємо:
Оскількі, то
, при
Оскількі остання Рівність справедлива при будь-якому, - монотонно зростає, то:
(3.6)
Тоді 3-го рівняння системи (1.2) у результаті інтегрування, маємо:
Оскількі, то.
Оскількі остання Р...
