нотонно зростає, то
Проінтегруємо Останню нерівність в проміжку:
Нехай тоді.
Отже:
При та отрімаємо нерівність, что суперечіть умові (3.3).
Розгянемо випадок коли.
Доведемо, что для такоже справедлива оцінка:
З очевідної рівності:
З урахуванням монотонного ЗРОСТАННЯ, маємо:
отримай:
Вікорістовуючі Цю нерівність и ВРАХОВУЮЧИ, что, отрімаємо:
Аналогічно в результаті інтегрування маємо:
Інтегруючі Цю нерівність в проміжку и ВРАХОВУЮЧИ, что, маємо:
Через ті, що - монотонно зростає, то
Отже,
отримай оцінку (), а далі продовжімо таким же чином, як в попередня випадка.
З рівняння (3.1) маємо:
.
Поділімо обідві Частини нерівності на, отрімаємо
Оскількі, монотонно зростає, то, а тому:
Проінтегрувавші, маємо
При та отрімаємо нерівність, что суперечіть умові (3) з теореми.
Сформулюємо та доведемо Наступний лему.
Лема.
Если хочай б одна з компонент розв язку системи (1.2) НЕ осцілює, то чи не осцілюють УСІ компоненти розв язку системи.
Доведення:
Одна з функцій НЕ осцілює. Нехай, для візначеності, що не осцілює Це означає, что починаючі з Деяк Достатньо великого вона НЕ змінюватіме свой знак. Тоді, з Першого рівняння системи (1.2) віпліває, що - монотонна функція, а отже, починаючі з Деяк зберігає Певний знак, тоб НЕ є осцілюючою. Тоді з 5-го рівняння системи (1.2) маємо, что для має протилежних знак, альо на цьом півінтервалі НЕ змінює его, отже, - функція монотонна, при зберігає Певний знак, звідсі - неосцілююча. З рівняння 4-го рівняння системи (1.2) віпліває, що - монотонна, тоб при зберігає Певний знак.- Неосцілююча. З 3-го рівняння системи (1.2) маємо, что такоже є монотонним, а звідсі неосцілюючою. Таким чином, шкірні з компонент розвязка системи не осцілює, что и треба Було довести.
Аналогічно доводитися лема, ЯКЩО, Наприклад, на качану зверни функцію або будь-яку іншу
Теорема 3.2
Нехай віконується
, i=1,2,3,4,5 (3.4)
Тоді ВСІ розв `язки системи (1.2) або сильно осцілюють, або Кожна їх компонента прямує до нескінченності при.
Доведення:
Если Кожна компонента розвязка осілює, то теорему доведено.
Нехай, прінаймні, одна з компонент не осцілює, тоді з Лемі віпліває, что ВСІ компоненти не осілюють. Тому або. Для візначеності Припустиме, что, тоді при. Тоді з последнего рівняння системи (1.2) отрімаємо, что монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ функція, а тому Можливі два випадка: Або або при .. Розглянемо спочатку випадок. Доведемо, что ВСІ компоненти розвязка прямують до нескінченності при.
Оскількі - монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ додатного функція, то:
.
Тоді з четветого рівняння, маємо:
Проінтегруємо Цю нерівність в проміжку.
ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4) при, маємо.
Тому.,.
Тому з третього рівняння системи маємо:
Звідсі, ВРАХОВУЮЧИ умову (3.4) при, маємо ..
От...
