fy"> Алгоритм: Нехай (x0, y0) - початкове наближення для точки мінімуму. Чергове наближення обчислюється за формулою:
де? (X),? (Y) - похідні функції? (X, y) по xі по y, а hi, j - елементи матриці Гессе (матриці других похідних)
, 1 =? xx h1, 2=h2, 1 =? xy h2, 2 =? yy
В Покомпонентний вигляді наведена вище формула має вигляд:
xk +1=xk - (h2, 2 *? (xk) - h1, 2 *? (yk)) / det (h) +1=yk - (- h2, 1 *? (xk) + h1, 1 *? (yk)) / det (h)
де det (h) - визначник матриці h.
Рахунок ведеться итерациями доти, поки два послідовних наближення не відрізнятимуться по третій нормі більше, ніж на? .
Умови застосування
Розглянемо ряд прикладів, що вказують на недоліки методу.
· Якщо початкове наближення недостатньо близько до вирішення, то метод може не зійтися.
Дане твердження не є вірним, більше того, умови застосування методу описані не повністю. Якщо припустити, що корінь локалізований на відрізку, де функція монотонна, і в якості початкового наближення вибрати той з кінців даного відрізка, де функція і її друга похідна мають один знак, то метод буде сходитися завжди.
Нехай
Тоді
Візьмемо нуль в якості початкового наближення. Перша ітерація дасть як наближення одиницю. У свою чергу, другий знову дасть нуль. Метод зациклиться і рішення не буде знайдено. У загальному випадку побудова послідовності наближень може бути дуже заплутаним <# «justify"> Розглянемо функцію:
Тоді і всюди, крім 0.
В околиці кореня похідна змінює знак при наближенні до нуля праворуч або ліворуч. У той час, як для.
Таким чином не обмежена поблизу кореня, і метод буде розходитися, хоча функція усюди дифференцируема, її похідна не дорівнює нулю в корені, нескінченно диференційовна <# «justify"> Розглянемо приклад:
Тоді й за винятком, де вона не визначена.
На черговому кроці маємо:
Швидкість збіжності <# «justify"> Нехай
Тоді і отже
.
Таким чином збіжність методу не квадратична, а лінійна, хоча функція усюди нескінченно диференційовна.
Обмеження
Нехай задано рівняння, де і треба знайти його рішення. Нижче наведена формулювання основної теореми, яка дозволяє дати чіткі умови застосовності. Вона носить ім'я радянського математика <# «18» src=«doc_zip342.jpg» />, Що:
на, тобто існує і не дорівнює нулю;
на, тобто обмежена;
на, і;
Причому довжина розглянутого відрізка
Тоді справедливі наступні твердження:
на існує корінь рівняння;
якщо, то итерационная послідовність <# «50» src=«doc_zip353.jpg» />;
похибка може бути оцінена за формулою
.
З останнього з тверджень теореми зокрема слід квадратична збіжність <# «41» src=«doc_zip355.jpg» />
Тоді обмеження на вихідну функцію будуть виглядати так:
1. функція повинна...
