навколо осі. Тепер для будь матриці SO (3) маємо
.
Стало бути, образ Im містить всю групу SO (3), і нами доведена
Теорема 2.6: Група SO (3) є гомоморфним чином групи SU (2) при гомоморфізм з ядром. Кожне обертання з SO (3) відповідає рівно двом унітарною операторам g і - g з SU (2).
2.2.4 Уявлення груп SU (2) і SO (3)
Частиною «фізичного» мислення є конкретні образи, пов'язані з уявленнями групи SO (3). Дія SO (3), що відображає симетрію багатьох фізичних завдань, з математичної точки цікаво, зокрема, тим, що воно індукує дію на просторі рішень рівняння
, - диференційний оператор Лапласа
Всякий елемент групи SO (3) є твором декількох операторів, виду (1). Але не діє на z, а-на x. Тому інваріантність рівняння відносно і випливає з тих викладок, які були проведені в двовимірному випадку. Ми приходимо до висновку, що рівняння инвариантно всієї групи SO (3) або, що те ж саме,
, SO (3),
де - функція, визначена співвідношенням
. (10)
За умовою для ортогонального перетворення з матрицею стовпець нових змінних має вигляд
.
Згідно (10),
.
Стало бути,
,
т. е. лінійні оператори, SO (3), діє на функціях так, що відображення є поданням групи SO (3). Цей вельми природний спосіб побудови вистави (фактично застосований при симетричних функцій з діючою групою), годиться в принципі для широкого класу груп і належить до типових методам функціонального аналізу. Потрібно лише, виходячи з конкретних умов, вибрати належне простір функцій і потім розкласти його на Непріводімие інваріантні підпростори.
У разі групи SO (3), коли всі Непріводімие подання конечномерного (загальний факт для компактних груп), за функції беруться однорідні многочлени
фіксованою ступеня m (m=1,2,3, ...). Вони утворюють простір розмірності. Так як, то умова еквівалентно лінійним умовам на коефіцієнти. Рішення рівняння називається однорідними гармонійними многочленами (гармонійними поліномами) ступеня т. Зважаючи лінійності оператора вони утворюють підпростір Нт розмірності -=2т +1 (у нас, але насправді має місце рівність). Відповідно до вищесказаного Нт инвариантно щодо дії групи SO (3). Виявляється, справедлива теорема про те, що простір Нт подання неприводимого над С і будь неприводимого над З подання групи SO (3) еквівалентно одному з уявлень (, Нт) непарної розмірності 2т +1. Замість того щоб доводити цю теорему, ми, обмежившись сказаним, звернемося до групи SU (2), де кілька легше отримати сімейство непріводімих уявлень. Зважаючи на наявність природного епіморфізм SU (2) SO (3) з ядром з матриць ± Е-яке уявлення групи SO (3) можна вважати також уявленням SU (2), що задовольняє так званому умові парності:. При цьому, зрозуміло, буде також виконуватися рівність для всіх SU (2). Зворотно, при виконанні умови парності пред'явлення групи SU (2) є одночасно поданням групи SO (3). Фізичний зміст мають і «двозначні» уявлення SO (3), тобто представлення групи SU (2), що не задовольняють умові парності. До їх числа відноситься, наприклад, звичайне двовимірне (спінорного) подання.
Відзначимо ще, що будь-яке неприводимого подання групи SO (3), відмінне від одиничного, є точним, як це прямо випливає з простоти SO (3). ...
