А - квадратна, позитивно-визначена матриця.
. 5.2 QR-розкладання
QR-розкладанням матриці А називається розкладання вигляду
=Q-R,
де Q - ортогональна матриця, a R - верхня трикутна матриця.
QR (A) - QR-розкладання;
А - вектор або матриця будь-якого розміру.
Результатом дії функції QR (A) є матриця L, складена з матриць Q і R відповідно. Щоб виділити самі матриці QR-розкладання, необхідно застосувати функцію виділення подматріци SUBMATRIX.
2.5.3 LU-ра?? ложение
LU-розкладанням матриці А, або трикутним розкладанням, називається матричне розкладання вигляду PA=LU, де L і U - нижня і верхня трикутні матриці відповідно. Р, А, L, U- квадратні матриці одного порядку.
LU (A) - LU-розкладання матриці; А - квадратна матриця.
Це розкладання матриці СЛУ проводиться при її вирішенні чисельним методом Гаусса.
Функція LU-розкладання, подібно попередньої функції QR-розкладання, видає складову матрицю. Виділити матриці P, L, і нескладно за допомогою вбудованої функції SUBMATRIX.
2.5.4 Сингулярне розкладання
сингулярного розкладання (SINGULARVALUEDECONPOSITION) матриці А розміру (nxm) (причому n gt; m) є розкладання виду A=US-VT, де u і v - ортогональні матриці розміром (nxn) і (mxm) відповідно ,
AS - діагональна матриця з сингулярними числами матриці А на діагоналі.
SVDS (A) - вектор, що складається з сингулярних чисел;
SVD (A) - сингулярне розкладання;
А - дійсна матриця.
2.6 Елементарна теорія лінійних операторів
Нехай задані лінійні простори Х і У. Правило, за яким кожному елементу ставиться у відповідність єдиний елемент, називається оператором, чинним в лінійних просторах Х, У. результат дії оператора А на елемент х позначають у=Ах або у=А ( х).
Якщо елементи х і у зв'язані співвідношенням у=Ах, то у називають образом елемента х, а х - прообразом у.
Безліч елементів лінійного простору Х, для яких визначено дію оператора А, називають областю визначення оператора А і позначають D (A).
Безліч елементів лінійного простору У, які є образами елементів з D (A), називають чином оператора А і позначають Im (A). Якщо у=Ах, то
Оператор А, діючий в лінійних просторах Х, У називається лінійним оператором, якщо
для будь-яких u, Vи Xі для будь-якого числа a.
Якщо простору Х і У збігаються, то кажуть, що оператор діє в просторі Х. Надалі обмежимося розглядом лінійних операторів, що діють в лінійному просторі Х.
Лінійний оператор і його матриця.
Перехід до іншого базису.
Розглянемо лінійний оператор А, який діє у скінченномірному лінійному просторі Х, dim (X)=n, і нехай E1, E2, ..., En, - базис в Х. Позначили через АЕ1=(а11, а21, ..., аn1) , АЕ2=(а12, а22, ..., аn2), ..., АЕn=(А1N, а2n, ..., АNN) образи базисних векторів E1, E2, ..., En.
Матриця (), стовпцями якої є координати образів базисних векторів, називається матрицею лінійного оператора в заданому базисі.
Доведено, що кожному лінійному оператору чинному в n-вимірному лінійному просторі Х, відповідає єдина матриця порядку n; і назад - кожна квадратна матриця порядку nзадает єдиний лінійний оператор, який діє в цьому просторі.
При зміні базису лінійного простору матриця оператора, очевидно, змінюється. Нехай в просторі Х відбувся перехід від базису
Е={E1, E2, ..., En} до базісуF={F1, F2, ..., Fn}. Зв'язок між матрицею АЕ оператора А в базисі Е і матрицею АF цього оператора в базисі Fзадается формулою
.
Тут і - матриця переходу від базису Е до базису F і обернена до неї.
3. Застосування MATHCAD у вирішенні завдань
Завдання 1.
Оператор А, діючий в лінійному просторі Х 4, заданий своєї матрицею (А). Знайти координати образу вектора X=(1 2 лютого 2) T
Рішення
У лінійному просторі Х 4 введено новий базис 1=(1 0 0 0) Т; Е 2=(1 1 0 0) Т; Е 3=(1 1 1 0) Т; Е 4=(1 1 1 1) Т. Знайти координати вектора Х, координати образу y=AX і матрицю оператора в новому базисі.
) Ввела задану матрицю (А) і вектор Х
2) обчислити координати образу АХ вектора Х
) Ввела матрицю Р переходу до нового базису в просторі Х 4 і знайшла зворотну їй
4) Знайшла координати вектора Х в новому базисі, мат...
