мови відомо, що можна розбити наші шестеро прямих на дві трійки. Нехай прямі 1, 2 і 3 перетинаються в точці О1, а прямі 4, 5 і 6 в точці О2, а прямі 6 і 1 перетинаються в точки О3. За умовою через точку О3 повинна проходити ще хоча б одна пряма, крім прямих 6 і 1, це можливо тільки якщо всі три точки О1, О2 і О3 збігаються.
Припустимо гидке, тоді через точку О3 проходить хоча б одна з прямих 2, 3, 4 або 5, що неможливо, оскільки через дві точки О1 і О2 або О2 і О3 на площині можна провести тільки одну пряму , або якісь прямі збігаються, що суперечить умові, значить, наше припущення не вірно, і всі шість прямих проходять через одну точку.
Вирішуючи завдання такого типу, обдаровані підлітки перейдуть на наступний рівень розвитку логічного мислення, тобто на рівень часткової логічної організації вивченого матеріалу, розуміння окремих його взаємозв'язків.
Щоб перевести учнів на рівень логічно організованих знань, розглянемо наступні завдання.
. Точки С1 і С2 лежать по різні сторони від прямої АB і розташовані так, що АС1=BC2 і? BAC1 =? ABC2. Доведіть, що пряма С1С2 проходить через середину відрізка АB.
Доказ. Для вирішення даної прямої учням необхідні знання з теми кути при паралельних прямих, а також зрозуміти взаємозв'язок між компонентами завдання.
Робимо припущення, що прямі паралельні. Розглянемо прямі АС1 і BC2, і січну на пряму АB, оскільки накрестлежащіе кути? BAC1 =? ABC2 за умовою, отримаємо, що АС1 BC2.
Малюнок 2
? АС1С2 =? ВС2С1 як накрестлежащіе при перетині паралельних прямих АС1 і ВС2 січною С1С2. Нехай точка О - точка перетину прямих АВ і С1С2. АС1О=ВС2О по стороні і двом кутам (? ОАС1 =? ОВС2,? АС1О =? ВС2О, АС1=ВС2), в рівних трикутниках проти рівних кутів лежать рівні сторони, тобто АТ=ОВ. Що й потрібно було довести.
. У трикутнику АВС висота АА1 не менш боку НД, а висота ВВ1 не менш боку АС. Доведіть, що трикутник АВС - рівнобедрений і прямокутний.
Для вирішення завдання необхідні знання темам висота трикутника, рівнобедрений і прямокутний трикутники, а також зрозуміти взаємозв'язки між компонентами завдання.
Розглянемо прямокутний 1 з прямим кутом ВВ1С (так як ВВ1 - висота отже ВВ1 перпендикулярна АС).
Малюнок 3
У прямокутному трикутнику гіпотенуза більше катета, тобто НД ВВ1, враховуючи, що за умовою АА1 НД, отримуємо АА1 НД Розглянемо прямокутний 1 з прямим кутом АА1С, (так як АА1-висота, отже, АА1 перпендикулярна до НД) .В прямокутному трикутнику гіпотенуза більше катета, тобто АС АА1, враховуючи, що за умовою ВВ1, отримуємо ВВ1 АА1, по доведеному АА1 НД , отже, АА1=ВВ1.
ВВ1=АА1 НД, отже, нд=ВВ1 і 1 рівнобедрений, а кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, отже,? ВСВ1 =? ВВ1С=90 ?, тоді
отже, ВВ1 збігається з НД АА1=ВВ1 АА1, отже, АС=АА1 і 1 рівнобедрений, а кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, отже,
Тоді
отже, АА1 збігається з АС.
За доведеним випливає, що АС=АА1=ВВ1=НД і АС перпендикулярна НД, отже, рівнобедрений і прямокутний, що потрібно було довести.
Вирішуючи аналогічні завдання, ми переведемо обдарованих учнів на останній рівень логічно організованих знань. Так як ми працюємо з обдарованими учнями, були підібрані завдання підвищеної труднощі.
Щоб перевести обдарованих учнів 8 класу на уроках геометрії з рівня фрагментарних знань, відсутності усвідомлення взаємозв'язків між компонентами системи на рівень часткової логічної організації вивченого матеріалу, розуміння окремих його взаємозв'язків необхідно вирішувати наступні завдання.
. Точка С лежить на відрізку АВ. Побудуйте точку D прямої АВ, не лежить на відрізку АВ, так, щоб. Чи завжди задача має рішення?
Малюнок 4
Нехай АС gt; CB. Відзначимо точку М, не лежить на прямій АВ, і на промені АМ відкладемо відрізок АС1, рівний АС, а потім на промені С1А відкладемо відрізок С1В1, рівний СВ. Проведемо через точку С1 пряму, паралельну прямій В1В. Вона перетинає пряму АВ в шуканої точці D.
Дійсно, так як С1D B1B, то. Звідси, використовуючи властивість пропорцій, отримуємо:
Але С1В1=СВ, АС1=АС (з побудови), тому
звідки.
Тим самим доведено, що точка D - шукана.
Якщо АС lt; СВ, то побудова шуканої точки D проводиться таким же чином, як і ...
