у випадку АС gt; CB, але тільки тепер точка А буде лежати між С1 і В1.
Нарешті, якщо АС=СВ, то=1, а для будь-якої точки D прямої АВ, що не лежить на відрізку АВ, Таким чином, У цьому випадку побудова точки D неможливо.
Вирішуючи завдання такого типу, обдаровані підлітки перейдуть на наступний рівень розвитку логічного мислення, тобто на рівень часткової логічної організації вивченого матеріалу, розуміння окремих його взаємозв'язків.
Щоб перевести учнів на рівень логічно організованих знань, розглянемо наступні завдання.
. Доведіть, що з однакових плиток, що мають форму довільного опуклого чотирикутника, можна зробити паркет, повністю покриває будь-яку частину площині.
Дане завдання має практичне значення, що додасть інтерес до її вирішення. Для доказу даної задачі учням 8 класу необхідна хороша підготовка з таких тем, як чотирикутники, паралельність прямих та інші. Також для вирішення даного завдання необхідна кмітливість і гнучкість розуму, щоб прийти безпосередньо до ходу рішення.
Нехай плитка має форму опуклого чотирикутника ABCD. Через вершини А і С проведемо пряму а, а через вершини В і D - b і з, паралельні прямій а.
Малюнок 5
Потім проведемо прямі d і e, паралельні прямій а так, що відстань між b і d дорівнює відстані а і з (позначимо його r1), а відстань між прямими з і е дорівнює відстані між прямими а і b (позначимо його r2). Продовжуючи цей процес необмежено, ми розіб'ємо всю площину на смуги, причому ширина смуг (відстань між сусідніми паралельними прямими) приймає поперемінно значення r1 і r2.
Розіб'ємо смугу, укладену між прямими а і b, на трикутники, рівні, так, як показано на малюнку, а смугу між прямими а і с - на трикутники, рівні. Те ж саме і з іншими смугами.
У результаті всі площину можна уявити розбитою на чотирикутники, причому кожен з них дорівнює чотирикутнику ABCD. Сторони цих чотирикутників відповідно рівні, і також кути відповідно рівні.
Звідси випливає, що ці чотирикутники можна поєднати накладенням, а це означає, що вони рівні.
Таким чином, будь-яку частину площині можна покрити паркетом з однакових плиток, рівних чотирикутнику ABCD.
. Доведіть, що підстави перпендикулярів, проведених з довільної кола, описаного навколо трикутника, до прямих, що містить сторони цього трикутника, лежать на одній прямій (пряма Сімпсона).
Малюнок 6
Шлях D - довільна точка кола, описаного близько даного трикутника. Позначимо вершини трикутника буквами А, В і С, так, щоб вийшов чотирикутник ABCD. У цьому чотирикутнику, тому або, і тоді прямий Сімпсона буде пряма АС, або один з цих кутів гострий, а інший тупий. Для визначеності будемо вважати, що - гострий. Розглянемо два випадки: 1) а значить, і рівні йому кут ABD - гострі; 2) Зазначені кути - тупі. У першому випадку підстава Н перпендикуляра, проведеного з точки D до прямої АВ, лежить між А і В, підстава До перпендикуляра до АС лежить між А і С, а підстава М перпендикуляра BC - поза відрізка НД
Вирішуючи аналогічні завдання, ми переведемо обдарованих учнів 8 класу на останній рівень логічно організованих знань. Так як ми працюємо з обдарованими учнями, були підібрані завдання підвищеної труднощі.
Щоб перевести обдарованих учнів 9 класу на уроках геометрії з рівня фрагментарних знань, відсутності усвідомлення взаємозв'язків між компонентами системи на рівень часткової логічної організації вивченого матеріалу, розуміння окремих його взаємозв'язків необхідно вирішувати наступні завдання.
. У кожному з наступних випадках на осі абсцис знайдіть точку М, для якої сума її відстаней від точки А і В мають найменше значення: а) А (2; 3), В (4: - 5); б) А (- 2; 4), В (3; 1).
У цьому завданні учням 9 класу необхідно розглянути два випадки:
Малюнок 7
а) шукана точка лежить на перетині прямої АВ з віссю Х. Якби точка М не лежала на цій прямій, то вийшов би трикутник АВМ. А з нерівності трикутника АВ lt; AM + BM.
Таким чином, знайдемо рівняння прямої АВ:
Так як, то,. Таким чином, М (.
б)
Малюнок 8
Побудуємо образ точки В відносно осі Х: В` (3; - 1).
Тепер, виходячи з попереднього пункту, знайдемо рівняння прямої АВ`:
=-x + 2.
Таким чином, М (2; 0).
Вирішуючи завдання такого типу, об...
