ll>
i = 1, ..., N ,
доповненої рівняннями виходів
В
y q ( t ) = q = 1, ..., K .
Моделі в термінах вхід-стан-вихід використовують поняття стану. Стан динамічного об'єкта (з пам'яттю) - необхідна і достатня інформація для визначення майбутньої поведінки з диференціальних рівнянь при заданих вхідних впливах незалежно від того, яким шляхом система прийшла в цей стан. Для скінченномірних систем стан представляється як n -мірний вектор n ( t ); при t = 0 вектор n (0) - Початковий стан. Система диференціальних рівнянь першого порядку в так званої нормальної формі простору станів (стандартизованої векторно-матричної формі) записується таким чином:
A n + Bf , n (0);
(18)
В
y = C n + Df ,
де f - Р -мірний вектор входу; у - K -мірний вектор виходу; A - матриця станів; B - матриця входу; C - матриця виходу; D - Матриця обходу відповідних розмірів. Першу векторно-матричну рядок у системі рівнянь (18) називають рівняннями станів, а другу - рівняннями виходу.
Приклад . При n = 2 диференціальні рівняння (18) системи з одним входом і одним виходом в розкритої формі запишуться так:
В
В
В
Матриці будуть мати наступний вигляд:
В
A = ; B = ;
C = ( c 1 c 2 ); D = d .
Якщо перше рівняння в системі (18) записати з використанням оператора диференціювання р , то маємо: ( pI - A ) n = Bf , де I - одинична матриця. Таким чином, рівняння у формі простору станів є окремим випадком системи диференціальних рівнянь (17) з матрицею
В
A ( p ) = pI - A . (19)
В
Автономна система описується однорідним диференціальним рівнянням
;,
причому початкові умови є математичним відображенням передісторії. Якщо вони ненульові, то система здійснює так звані вільні рухи. У скінченномірних системах вільні руху визначаються повністю оператором А ( р ) і кінцевим числом початкових умов незалежно від того, яким шляхом система прийшла в цей стан до моменту початку спостереження.
Автономна система може описуватися системою диференціальних рівнянь різних порядків:
В
A ( p ) x ( t ) = 0, x (0);
y ( t ) = Cx ( t ),
а також диференціальними рівняннями у формі простору станів
= An, n (0);
y = C n.
Розглянемо побудову моделей вхід-вихід за системою диференціальних рівнянь. Нехай дана система диференціальних рівнянь (17). Побудова моделі в термінах В«вхід-вихідВ» означає виключення внутрішніх змінних, що простіше виконати, якщо від диференціальних рівнянь перейти до системи алгебраїчних рівнянь для зображень, прийнявши нульові початкові умови:
В
A ( s ) X ( s ) = B (< i> s ) F ( s ); (20)
Y ( s ) = CX ( s ).
При невеликому числі рівнянь застосовують метод послідовних виключень. Нехай, наприклад, об'єкт з одним входом f і одним виходом у має дві внутрішні змінні x 1 і х 2 :
(21)
Вирішуючи систему (21) щодо Y ( s ), отримаємо:
В
Тепер за висловом
В
легко отримати поліноми чисельника і знаменника передавальної функції і записати вираз для одного диференціального рівняння. Використовуємо операції перемноження і віднімання поліномів. p> У випадку, коли потрібно обчислити передавальну функцію, що зв'язує одну з вихідних змінних у = X q з однією з дій f r , застосовують правило Крамера :
, (22)
де поліноміальна матриця A qr отримана з матриці А заміною q -го стовпця r -м стовпцем матриці В . Знаменник передавальної функції W qr ( s ) незалежно від номерів входу r і виходу q дорівнює характеристическому полиному системи
В
A ( s ) = det A ( s ) (23)
Цей спосіб побудови моделей вхід-вихід за системою рівнянь (20) зводиться до обчислення визначників поліноміальних матриць.
Для прикладу (21) запишемо систему в матричної формі (20); матриці мають вигляд:
В
...
