A ( s ) =; B ( s ) =. (24)
У Відповідно до правила Крамера за формулою (23) визначаємо характеристичний поліном:
В
чисельник передавальної функції W 21 ( s ) (тут r = 1, q = 2 ) дорівнює
det A 21 =
Маємо систему алгебраїчних рівнянь багатовимірної системи, записану для зображень змінних (20). У загальному випадку передавальна матриця системи, тобто модель вхід-вихід через поліноміальні матриці виражається наступним чином:
В
W ( s ) = CA -1 ( s ) < i> B ( s ) . (25)
Тут обчислення пов'язані із зверненням і перемножением поліноміальних матриць. Ясно, що поліноміальна матриця системи А ( s ) повинна бути не особливою, іншими словами, її визначник НЕ дорівнює тотожно нулю. Відомо, що
,
де А * ( s ) - приєднана матриця. p> Отже, вираз для передавальної матриці (25) прийме вигляд:
В
W ( s ) = CA * ( s ) B ( s )/ A ( s ). (26)
В
Приклад . Модель вхід-вихід у вигляді лінійного диференціального рівняння
В
y ( n ) + a 1 y ( n -1) + ... + A n -1 y (1) + a n y = B 0 u ( n ) + b 1 u ( n -1) + ... + B n u
може бути приведена до моделі в змінних стану наступним чином:
В
x (1) = x i + 1 + k i * u , де i = 1, n -1;
x (1) n = - a n x 1 - a n -1 x 2 - ... - A 1 x n + k n u ;
y = x 1 + k 0 u ;
коефіцієнти k розраховуються за рекурентним формулами:
В
k 0 = b 0 ;
k 1 = b 1 - a 1 k 0 ;
...
;
,
де n = 3; a 1 = 0; a 2 = 2; a 3 = 4; b < sub> 0 = 2; b 1 = b 2 = 0; b 3 = -1.
Визначимо значення k i :
В
k 0 = b 0 = 2;
k 1 = b 1 - a 1 * k 0 = 0;
k 2 = b 2 - a 1 k 1 - A 2 k 0 = - 4;
k 3 = b 3 - a 1 k 2 - A 2 * k 1 - a 3 k 0 = - 9. br/>
Тоді вихідне рівняння в змінних станах (нормальна форма):
В
x 1 (1) = x 2 ;
x 2 (1) = x 3 - 4 u ;
x 3 (1) = - 4 x 1 - 2 x 2 - 9 u ;
y = x 1 + 2 u ,
або у векторній формі
;
,
де матриці об'єкта, управління, спостереження та обходу, відповідно,
;;;.
2.5 Побудова моделей вхід-вихід за рівняннями у формі простору станів
Нехай диференціальні рівняння об'єкта або системи управління записані у формі простору станів:
A n + Bf , n (0);
(27)
В
y = C n + df . br/>
Для простоти приймемо одновимірний випадок: змінні входу і виходу f і y є скалярами; матриця входу В - стовпець; матриця виходу З - рядок; d - Скаляр обходу. p> Перетворимо рівняння (27) по Лапласа при нульових початкових умовах:
В
s n ( s ) = AV ( s ) + BF ( s );
(28)
В
Y (<...
