9;є.
У тому випадку, коли вихідна інформація про об'єкт представлена ​​у формі диференціального рівняння (1), частотні характеристики будують розрахунковим шляхом.
Розглянемо переходи від диференціального рівняння n -порядку (1) і передавальної функції (3) до частотним характеристикам.
Сталі реакції лінійної системи на гармонійний вплив одиничної амплітудисоответствуют приватному рішенням неоднорідного диференціального рівняння (2). Будемо шукати приватне рішення:
,
де R (w), j (w) - амплітуда і фаза, в загальному випадку залежать від частоти.
Врахуємо, що
,;
,.
Підставимо ці співвідношення в неоднорідне диференціальне рівняння (2), записане в операторної формі,
.
Після розподілу обох частин на ехр { j w t } можна записати:
.
Таким чином, амплітудно-частотна характеристика знаходиться як модуль
,
а фазова частотна характеристика - як аргумент
j (w) = arg W ( j w)
комплексної частотної характеристики W ( j w) .
Одночасно отримуємо перехід від передавальної функції до частотним характеристикам. Комплексна частотна характеристика виходить заміною аргументу передавальної функції s на j w:
.
У загальному випадку s може приймати значення на будь-якому контурі комплексній площині.
Обчислення значень частотних характеристик для конкретного s = j w (а в загальному випадку s = a + j w) зводиться до обчислення значень поліномів В ( s ) і А ( s ) з наступним розподілом отриманих комплексних чисел. При цьому виходять значення речовій P (w) та уявної Q (w) частотних характеристик. Значення амплітудної частотної характеристики обчислюється як
.
Труднощі виникають при розрахунку значень фазочастотной характеристики за формулою
; k = 0 , В ... (15)
Значення j (w) виходять на інтервалі (- P, p), тому у випадку систем високого порядку для визначення істинних значень фазових зрушень приймається припущення про те, що в межах обраного кроку частот j (w) не змінюється на В± p, тобто коріння поліномів B ( s ) і A ( s ) розташовуються досить далеко від уявної осі.
Співвідношення (15) НЕ визначає аргумент j (w) комплексного числа W ( j w), так як йому разом з j задовольняє і j + p. Однак через безперервності фазової характеристики j (w), приймаючої відмінні від нуля значення, вона однозначно характеризується поточним tgj (w) = Q (w) /P (w), w min /i> w < w max і початковим j (w 0 ); w min < w < w max значеннями. На цьому властивості безперервності фазової характеристики можна отримати алгоритм побудови частотних характеристик, якщо справжнє значення j (w 0 ) лежить в межах (- p, p).
2.4 Побудова моделей за системі диференціальних рівнянь
Системи диференціальних рівнянь зазвичай виходять в результаті побудови аналітичним методом математичних моделей фізичних систем із зосередженими компонентами.
Нехай вихідні знання про об'єкт управління мають вигляд деякої фізичної системи з зосередженими компонентами; це може бути, наприклад, багатоконтурна електрична або механічна схема. На основі відповідних законів за певними правилам записуються компонентні рівняння і рівняння зв'язків. Далі ці рівняння можна привести до наступного вигляду:
i = 1, ..., N; (16)
q = 1, ..., K.
Рівняння (16) можна записати в матричному вигляді:
В
A ( p ) x ( t ) = B (< i> p ) f ( t );
В
y ( t ) = C ( p ) x (< i> t ),
де х - вектор внутрішніх змінних розмірності N ; f і y - вектори змінних входу і виходу розмірностей Р і K відповідно; А ( р ), В ( р ), З ( p ) - поліноміальні матриці; зазвичай матриця З - числова, тобто складається з нулів і одиниць, що вказують, які з змінних х приймаються за вихідні.
Рівняння (16), (17) називають Непричинні-наслідковими , між внутрішніми змінними x i ( t ) немає об'єктивних причинно-наслідкових відносин.
За певних умов систему (16) можна записати у формі системи диференціальних рівнянь першого порядку, розв'язаних відносно похідних,
