0, де х [а; b ], а функція у = f (х) і її похідна у ' = f '(х) безупинні на цьому відрізку.
Знайдемо площу S поверхні, утвореної обертанням кривої АВ навколо осі Ох (рис 8).
Застосуємо схему II (метод диференціала).
1. Через довільну точку х [а; b] проведемо площину П, перпендикулярну осі Ох. Площина П перетинає поверхню обертання по кола з радіусом у - f (х) . Величина S поверхні частини фігури обертання, що лежить лівіше площини, що є функцією від х, т. е. s = s (х) (s (а) = 0 і s (b) = S).
2. Дамо аргументу х прирощення О”х = d х. Через точку х + d х [а; b] також проведемо площину, перпендикулярну осі Ох. Функція s = s (х) одержить збільшення О”s, зображеного на малюнку у вигляді "паска".
Знайдемо диференціал площі ds , замінюючи утворену між перерізами фігуру усіченим конусом, що утворює якого дорівнює dl , а радіуси підстав дорівнюють у і у + d у. Площа його бічній поверхні дорівнює ds = (у + біля + d у) • d 1 = 2 ydl + dydl. Відкидаючи твір d у d 1 як нескінченно малу вищого порядку, ніж ds , отримуємо ds = 2 у dl , або, так як d 1 = dx .
3. Інтегруючи отримане рівність в межах від х = а до х = b, отримуємо
S = 2 y dx .
Якщо крива AB задана параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t), t ≤ t ≤ t, то формула для площі поверхні обертання приймає вигляд
S = 2 dt .
Приклад: Знайти площу поверхні кулі радіуса R. [5]
Рішення: Можна вважати, що поверхня кулі утворена обертанням півкола y =, -R ≤ x ≤ R, навколо осі Ox. За формулою S = 2 y dx знаходимо
S = 2 = <В
3.2.4.1. Обчислення площ плоских фігур
Прямокутні координати
Нехай функція f (х) неперервна на сегменті [А; b] . Якщо f (х) ≥ 0 на [а; b] то площа S криволінійної трапеції, обмеженою лініями у = f (х), у = 0, х = а, х = b , дорівнює інтегралу
В
Якщо ж f (x) ≤ 0 на [а; b] то - f (х) ≥ 0 на [а; b] . Тому площа S відповідної криволінійної трапеції виразиться формулою
або
В
Якщо, нарешті, крива y = f (х) перетинає вісь Ох, то сегмент [а; b] треба розбити на частини, в межах яких f (х) НЕ змінює знака, і до кожної такої частини застосувати ту з формул, яка їй відповідає.
