b) = V ) .
2. Знаходимо диференціал dV функції v = v (x). Він являє собою
"елементарний шар" тіла, укладений між паралельними площинами, що перетинають вісь Ох в точках x і x + О”x, який наближено може бути прийнятий за циліндр з основою S ( x ) і висотою dx < i>. Тому диференціал обсягу dV = S (х) d х. i>
2. Знаходимо шукану величину V шляхом інтегрування d А в межах від a до b:
V = S (x) dx
Формула об'єму тіла за площею паралельних перерізів
Приклад: Знайти об'єм еліпсоїда (рис 6) [5]
Рис 6
br/>
Рішення: Розсікаючи еліпсоїд площиною, паралельній площині OYZ і на відстані х від неї (- a ≤ x ≤ b . ), отримаємо еліпс
В
Площа цього еліпса дорівнює S (x) = bc (1 -). Тому, за формулою маємо
V = bc (1 -) dx = a bc .
Об'єм тіла обертання
Нехай навколо осі Ох обертається криволінійна трапеція, обмежена безперервної лінією у = f (х) ≥ 0, відрізком а ≤ х ≤ b і прямими х = а і х = b (рис 7). Отримана від обертання фігура називається тілом обертання. Перетин цього тіла площиною, перпендикулярної осі Ох, проведеної через довільну точку х осі O х ), є коло з радіусом у = f < i> (х). Отже,
S ( x ) = y . i>
Застосовуючи формулу V = S ( x ) dx об'єму тіла за площі
паралельних перерізів, отримуємо
В В
V = y dx.
Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком неперервної функції x = (x) ≥ 0 і прямими x = 0, y = c, y = d (c <
d), то об'єм тіла, утвореного обертанням цієї трапеції навколо осі Оу, за аналогією з формулою V = S ( x ) dx , дорівнює
V = x dy .
Приклад: Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями у = , x = 0, у = 2 навколо осі Оу . [5]
Рішення: За формулою V = x dy .
знаходимо:
V = 2ydy = y = 8.
3.2. 3 Обчислення площі поверхні обертання
Нехай крива АВ є графіком функції у = f (х) ≥ ...