Крім моделі Васічека для отримання функції кривої прибутковості можуть бути використані інші стохастичні моделі короткострокових ставок, наприклад моделі Хала-Уайта, Кокса-Інгерсолл-Росса, Хо-Лі. Проте використання більш складних моделей, незважаючи на свою теоретичну обгрунтованість, призводить до отримання складних багатопараметричних функцій кривої прибутковості, які погано наближаються до ринковим даним.
3.2 Модель Нельсона-Сігеля
Модель Нельсона-Сігеля (Nelson-Siegel, 1987) є однією з найбільш часто застосовуваних моделей на практиці. В їх роботі "Parsimonious Modeling of Yield Curve" ("Просте моделювання кривої прибутковості ") було відзначено, що клас функцій, легко представляє типові форми кривої прибутковості, пов'язаний з рішенням диференціальних рівнянь. Крім того, "теорія очікувань тимчасової структури процентних ставок дає евристичну мотивацію для дослідження цього класу функцій, так як якщо спот ставки задаються диференціальним рівнянням, то форвардні ставки, будучи прогнозами (очікувань), будуть рішеннями цих рівнянь ".
Експерименти з класом функцій, що є рішенням лінійного диференціального рівняння другого порядку з дійсними і нерівними корінням характеристичного рівняння, показали погане наближення до реальних даних і відсутність збіжності оцінок, що є ознакою надмірної кількості параметрів. Авторами було зроблено припущення про рівність коренів характеристичного рівняння, що дає більш просте вираження для миттєвої форвардної процентної ставки:
(1)
Інтегрування функції (1) від 0 до дає вираз для спот ставок у даній моделі:
(2)
Крива прибутковості Нельсона-Сігеля може приймати будь-які форми: монотонно зростаючу або убуваючу, опуклу (з горбом), U-форму і S-форму, які зустрічаються на практиці. Крім того, кожний доданок у функції спот ставок робить найбільший вплив на коротко-, середньо-і довгостроковий сегмент кривої прибутковості, що додає гнучкості моделі.
Дана модель добре зарекомендувала себе на ринках як розвинених, так і країн, що розвиваються. Вона добре підходить для опису тимчасової структури ставок при малій кількості цінних паперів, на основі доходностей яких будується крива прибутковості, а також дозволяє отримати гладку форму кривої, яку можна використовувати в макроекономічних дослідженнях і оцінці фінансових інструментів.
3.3 Модель Свенссона
Модель Свенссона (Svensson, 1994) є модифікацією моделі Нельсона-Сігеля. У цій моделі в формулу (1) додається ще один доданок, яке дозволяє отримати ще один горб в кривої прибутковості:
(3)
Досліджуючи структуру форвардних ставок Швеції, Свенссон виявив недостатню гнучкість моделі Нельсона-Сігеля при описі окремих сегментів кривої прибутковості. Додавання доданка дозволяє більш точно оцінити специфічну структуру ставок у окремі проміжки часу, як правило, на короткостроковому сегменті кривої п...
