шина, а - ребро з кінцем А, а - грань зі стороною а. Для будь-яких інших аналогічних його елементів А ', а', а 'існує накладення багатогранника Р на себе, що переводить А' в А, а 'в а, а' в а. br/>
Доказ
Перенесенням багатогранника переведемо вершину А 'в А. Поворотом багатогранника навколо А переведемо перенесене ребро а' в а. Поворотом багатогранника навколо ребра а наведемо (перенесену і повернену) грань а 'в збіг з гранню а. Так як грані рівні, то грань а 'повністю співпаде з відповідним а. p align="justify"> Так як двогранні кути рівні, то для граней р і р ', суміжних з а й а', є тільки дві можливості: 1) р 'збігається з р, 2) р' не збігається з р , але буде симетрична р щодо площини грані а. У такому випадку відображенням у цій площині переведемо Р 'в р. p align="justify"> Отже, накладенням всього багатогранника Р ми поєднали вершину А 'з А, ребро а' - з а, грані а ', р', суміжні по ребру а ', - з гранями а, р, суміжними по ребру а.
Переконаємося, що при цьому багатогранник виявляється поєднаним сам з собою. Дві грані багатогранного кута при вершині А збіглися (а 'з а, р' з р). Перейдемо до граней в й у ', сусіднім з р. Двогранні кути, які вони утворюють з р, рівні і розташовані з одного боку - з тією ж, з якою лежить грань а. Тому грань у 'збігається з у. Так переконаємося, що багатогранні кути при вершині А збіглися. Переходячи до іншої вершині, з'єднаної з А ребром, аналогічно переконаємося, що і при цій вершині багатогранні кути збігаються. І так пройшовши по всьому багатограннику, переконаємося, що він збігся сам з собою, що й потрібно було довести. ? p align="justify"> Властивість правильних багатогранників, встановлене доведеною теоремою, означає, що вони володіють, так би мовити, максимальної мислимої симетрією. Накладення, суміщення багатогранника самого з собою, неминуче поєднує якусь вершину А 'з А, ребро а' - з а, грань А'-з а, і примикає грань р '- з р. Накладення цим цілком визначене, воно тільки одне. Тому максимальне число можливих накладень буде тоді, коли кожну сукупність А, а, а, р можна перевести в кожну. А це так у правильних багатогранників Очевидно, вірно і зворотне. Якщо багатогранник володіє такою максимальною симетрією, то він правильний (так як ребро а поєднується з а ', кут на межі а' при вершині А поєднується з таким же кутом, і двогранний кут між а 'і р 4 'поєднується з кутом між а і р. - тож всі ребра і кути рівні). Число накладень, які суміщають правильний багатогранник сам з собою, дорівнює 2 ті, де т - число ребер, що сходяться в одній вершині, і ті - число вершин; ті накладень першого роду і ті - накладень другого роду. Вони і утворюють групу симетрії правильного багатогранника. Групи симетрії у куба і октаедра збігаються зваж...
