на кордонах осередків і визначаються як підлозі сума значень відповідних функцій у двох сусідніх осередках. Наприклад,
В
Легко бачити, що схема (21) апроксимує рівняння (20) з порядком Тут другий порядок по h1и h2 виходить через використання центральних різниць для просторових похідних. Важливою властивістю схеми (21) є її консервативність. Це доводиться шляхом приведення її до дивергентного виду [14]:
(22)
де
В
Перші два рівняння системи (22) виходять елементарно із системи (9), а третє рівняння виводиться наступним чином.
В
Лагранжа етап
Систему рівнянь (7) другого етапу представимо у векторній формі [14]
(23)
де - вектор швидкості газу, - вектор рішення, компоненти якого є щільність, щільність імпульсу і щільність повної енергії (маса, імпульс і повна енергія одиниці об'єму газу).
Рішення будемо шукати у вигляді [14]
(24)
де R (r) - функція ядра, що характеризує форму, розмір частки і розподіл у ній щільності переносите ознак; - поточна координата, - радіус-вектор центру j-й частинки, підсумовування проводиться по всіх частинкам.
Відповідно [14]
(25)
вектор ознак, які переносяться j-й часткою, - її маса. Так як щільність газу на ейлерова етапі не змінюється, то маси індивідуальних частинок залишаються постійними. Згідно з формулою (26) припускаємо, що функція задовольняє умові нормування [14]
(26)
Нагадаємо також, що [14]
В
Підставимо (24) в систему (23) і інтегруємо її по з финитной гладкою ваговій функцією, функція носій якої компанентов. За допомогою інтегрування частинами отримуємо [14]
В
Так як - довільна функція, то це рівність виконується тотожно, якщо частки переміщаються відповідно до рівняннями руху [14]
(27)
У методі Харлоу ознаки, що переносяться частинками, визначаються за сітковим функціям обчисленим на першому етапі. Для цього необхідно задати закон інтерполяції з ейлеровой сітки на Лагранжа. p> Нехай перерахунок з ейлеровой сітки на частинки проводиться за формулами [14]
(28)
де S (r, р) - деяка інтерполююча функція, що задовольняє умові нормування, яке в даному випадку має вигляд [16]
(29)
Очевидно, що інтерполяція на частинки повинна зберігати сумарні імпульс і енергію рідини в сіткової області течії на даному часовому кроці. Повна маса зберігається автоматично, оскільки маси окремих частинок не змінюються. Для підсумовування сіткових функцій зручно скористатися квадратурними формулами "середніх" прямокутників. Тоді закони збереження при інтерполяції (28) записуються у формі [14]
(30)
Після обчислення масивів характеристик частинок (28) розраховуються нові положення частинок на (n +1)-му час...
