ачить турнір влаштувати можна. p>
Аналіз помилки: У міркуваннях пункту а) ніяких зауважень немає. Дійсно, в будь-якому турнірі число ігор ціле (*). Є сумніви в пунктах б) і в). Учень використовує твердження, зворотне (*): якщо при підрахунку кількості ігор ми отримуємо ціле число, то турнір можна влаштувати. Насправді це твердження не таке вже й очевидне і потребує доведення. Помилка:
використання замість теореми зворотного до неї затвердження . Наведемо приклад того, що при виконанні прямого твердження зворотне йому не завжди виконується:
Можна Чи для п'яти команд влаштувати турнір в одне коло так, щоб чотири з них зіграли б по чотири гри, а одна - дві?
Зрозуміло, що такий турнір влаштувати не можна. Якщо чотири команди зіграють по чотири гри, то і п'ята при цьому повинна буде зіграти теж чотири. Число ігор при цьому - ціле число. Цей приклад ясно показує, що зворотне твердження не завжди вірно.
Задача 3-8а. На колі обрані 10 точок. Скільки існує опуклих чотирикутників з вершинами в цих точках? p> 1) Міркування учня: У нас є десять точок, пронумеруємо їх від 0 до 9. Тоді кожному чотиризначному числа буде відповідати рівно один чотирикутник. Значить чотирикутників стільки ж, скільки чотиризначних чисел з різними цифрами, а їх 10 Г— 9 Г— 8 Г— 7 = 40320.
Аналіз помилки: Школяр хотів використати для вирішення завдання взаимнооднозначное відповідність, але при цьому встановив його неправильно. Вірно помічено, що кожному чотиризначному числу відповідає рівно один чотирикутник. Для взаємооднозначної відповідності ще потрібно, щоб кожному чотирикутнику відповідало рівно одне число, а їх 4! = 24. Про Бієкція і мови бути не може. Наприклад, числах 1234, 2341, 3412, 4123, 4321, 3214, 2143, 1432 відповідає один і той же чотирикутник В«1234В». Мало того, крім опуклих чотирикутників були підраховані самопересекающиеся В«1342В» і В«1324В» (Це причина дії стереотипу, який формується у школі, так як школярі в основному працюють тільки з опуклими фігурами), кожен з яких може бути представлений вісьмома різними чотиризначними числами.
Причина помилки: учень переглянувши лише кілька чотирикутників, зіставивши йому чотиризначне число, зробив висновок про взаимнооднозначное двох множин. Дана помилка - свого роду аналог помилки В« заміна прямої теореми зворотного В». Якщо перевірена однозначність відповідності в одну сторону, то у зворотний бік відповідність автоматично вважається однозначним. Це не вірно. Приклади добре спростовують такі міркування.
Цілі числа. Завдання № 3, 4. p> В§ 1.
Задача 1. З'ясувати, які з наступних тверджень вірні, а які - ні:
б) якщо a і b не діляться на 6, то a + b не ділиться на 6;
г) якщо a ділиться на 6, b не ділиться на 6, то ab не ділиться на 6;
д) якщо a ділиться на 6, b ділиться на 10, то ab ділиться на 60.
Міркування учня: в рішеннях всіх пунктів використовується один і той же метод. Затвердження перевіряється лише для конкретної пари чисел, що задовольняє умовам завдання. Результат перевірки служить відповіддю.
Аналіз помилки: Виділимо три випадки: 1) при перевірці для конкретної пари чисел твердження невірно, 2) при перевірці для конкретної пари чисел твердження вірне, але існують пари чисел, при яких твердження хибне; 3) при перевірці для конкретної пари чисел твердження вірне і для інших пар чисел воно також виконується. Виходить, що в першому і другому випадках твердження невірне, а в третьому - вірне. Учні найкраще діють в першому випадку, так як їм легше оперувати конкретними числами. Від них вимагається лише підібрати опровергающий приклад. Якщо ж всі розглянуті приклади підтверджують твердження, але перебрані не всі можливі випадки, що для нескінченного їх безлічі просто неможливо, то немає гарантії, що це третій випадок, а не другий. Тому потрібні працювати з класом чисел, у зв'язку з цим виникають труднощі подання в загальному вигляді. p> Все вище сказане підтверджується у рішеннях школярів.
У пунктах б) і г) учень знаходить пару чисел, при яких умова не виконується, і робить правильний висновок, що твердження не вірно. У пункті д) також розглядається одна або дві пари a і b, для яких звичайно ж все справедливо. Робиться висновок про виконання затвердження для всіх інших чисел, тобто виробляється незаконне узагальнення.
Варто відзначити наступний момент: на відміну від пунктів б) і г), де наводиться одна пара чисел, у пункті д) учні, як правило, розглядають кілька пар чисел. Вони розуміють, що недостатньо розгляду конкретних чисел. Але розглянути всі пари чисел неможливо, і вони обмежуються кількома. Значить основна проблема полягає в пе...
