совместна (має хоча б одне рішення) тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.
= RgA * .
Очевидно, що система (1) може бути записана у вигляді:
x1 + x2 + ... + xn
Доказ.
1) Якщо рішення існує, то стовпець вільних членів є лінійна комбінація стовпців матриці А, а значить додавання цього стовпця в матрицю, тобто перехід А В® А * НЕ змінюють рангу.
) Якщо RgA = RgA * , то це означає, що вони мають один і той же базисний мінор. Стовпець вільних членів - лінійна комбінація стовпців базисного мінору, ті вірна запис, наведена вище.
Приклад. Визначити спільність системи лінійних рівнянь:
В
=
~. RgA = 2. * = RgA * = 3. br/>
Система несовместна.
Приклад. Визначити спільність системи лінійних рівнянь. br/>
А =; = 2 + 12 = 14 В№ 0; RgA = 2;
* =
RgA * = 2.
Система совместна. Розв'язки: x1 = 1; x2 = 1/2. br/>
Метод Гаусса
(Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) німецький математик)
На відміну від матричного методу і методу Крамера, метод Гаусса може бути застосований до систем лінійних рівнянь з довільним числом рівнянь і невідомих. Суть методу полягає в послідовному виключенні невідомих. p align="justify"> Розглянемо систему лінійних рівнянь:
В
Розділимо обидві частини 1-го рівняння на a11 В№ 0, потім:
1) помножимо на а 21 і віднімемо з другого рівняння
) помножимо на а 31 і віднімемо з третього рівняння
і т.д.
Отримаємо:
, де d1j = a1j/a11, j = 2, 3, ..., n +1.
ij = aij - ai1d1j i = 2, 3, ..., n; j = 2, 3, ..., n +1.
Далі повторюємо ці ж дії для другого рівняння системи, потім - для третього і т.д.
Приклад. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гаусса. br/>В
Складемо розширену матрицю системи.
А * =
Таким чином, вихідна система може бути представлена ​​у вигляді:
, звідки отримуємо: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Приклад. Вирішити систему методом Гаусса. <В
Складемо розширену матрицю системи.
В
Таким чином, вихідна система може бути представлена ​​у вигляді:
, звідки отримуємо: z = 3; y = 2; x = 1.
Отриманий відповідь збігається з відповіддю, отриманими для...
