n рівнянь з n невідомими
В
у разі, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдине рішення і це рішення знаходиться за формулами:
i = Di/D, де
D = det A, а Di - визначник матриці, одержуваної з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.
Di =
Приклад.
В
=; D1 =; D2 =; D3 =;
1 = D1/detA; x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;
Приклад. Знайти рішення системи рівнянь:
В
D == 5 (4 - 9) + (2 - 12) - (3 - 8) = -25 - 10 + 5 = -30;
D1 == (28 - 48) - (42 - 32) = -20 - 10 = -30.
1 = D1/D = 1;
D2 == 5 (28 - 48) - (16 - 56) = -100 + 40 = -60.
2 = D2/D = 2;
D3 == 5 (32 - 42) + (16 - 56) = -50 - 40 = -90.3 = D3/D = 3.
Як видно, результат збігається з результатом, отриманим вище матричним методом.
Якщо система однорідна, тобто bi = 0, то при D В№ 0 система має єдине нульове рішення x1 = x2 = ... = xn = 0.
При D = 0 система має нескінченну безліч рішень.
Для самостійного розв'язку:
; Відповідь: x = 0; y = 0; z = -2.
Рішення довільних систем лінійних рівнянь
Як було сказано вище, матричний метод та метод Крамера застосовні тільки до тих систем лінійних рівнянь, в яких число невідомих дорівнює числу рівнянь. Далі розглянемо довільні системи лінійних рівнянь. p align="justify"> Визначення. Система m рівнянь з n невідомими в загальному вигляді записується наступним чином:
,
де aij - коефіцієнти, а bi - постійні. Рішеннями системи є n чисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння в тотожність. p> Визначення. Якщо система має хоча б одне рішення, то вона називається спільної. Якщо система не має жодного рішення, то вона називається несумісною. p> Визначення. Система називається визначеною, якщо вона має тільки одне рішення і невизначеною, якщо більше одного. p> Визначення. Для системи лінійних рівнянь матриця
А = називається матрицею системи, а матриця
А * = називається розширеною матрицею системи
Визначення. Якщо b1, b2, ..., bm = 0, то система називається однорідною. однорідна система завжди сумісна, тому що завжди має нульове рішення.
Елементарні перетворення систем
До елементарних перетворень відносяться:
1) Додаток до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на одне і те ж число, не рівне нулю.
) Перестановка рівнянь місцями.
) Видалення з системи рівнянь, які є тотожністю для всіх х.
Теорема Кронекера - Капеллі (умова спільності системи)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) німецький математик)
Теорема: Система...
