лічені рівняння повинні задовольняти залежностям Сен-Венана
(20)
У теорії пружності задача вирішена, якщо виконуються всі основні рівняння.
.2 Типи задач теорії пружності
Граничні умови на поверхні тіла повинні виконуватися і залежно від типу граничних умов розрізняють три типи завдань теорії пружності.
Перший тип. На поверхні тіла задані сили. Граничні умови
Другий тип. Завдання, в яких на поверхні тіла задано переміщення. Граничні умови
Третій тип. Змішані задачі теорії пружності. На частині поверхні тіла задані сили, на частині поверхні тіла задано переміщення. Граничні умови
.3 Пряма і зворотна задачі теорії пружності
Завдання, в яких на поверхні тіла задані сили або переміщення, а потрібно знайти напружено-деформований стан усередині тіла і те, що не задано на поверхні, називають прямими завданнями. Якщо ж усередині тіла задані напруги, деформації, переміщення і т.д., а потрібно визначити те, що не задано всередині тіла, а також переміщення і напруги на поверхні тіла (тобто знайти причини, що викликали таке напружено-деформований стан)), то такі завдання називаються зворотними.
.4 Рівняння теорії пружності в переміщеннях (рівняння Ламе)
Для визначення рівнянь теорії пружності в переміщеннях запишемо: диференціальні рівняння рівноваги (18) закон Гука для лінійно-пружного ізотропного тіла (19)
В
Якщо врахувати, що деформації виражаються через переміщення (17), запишемо:
(22)
Слід також нагадати, що кут зсуву пов'язаний з переміщеннями наступним співвідношенням (17):
(23)
Підставивши в перше рівняння рівностей (19) вираз (22), отримаємо, що нормальні напруги
(24)
Зазначимо, що запис иц в даному випадку не має на увазі підсумовування за i.
Підставивши у друге рівняння рівностей (19) вираз (23), отримаємо, що дотичні напруження
(25)
Запишемо рівняння рівноваги (18) у розгорнутому вигляді для j = 1
(26)
Підставивши в рівняння (26) вирази для нормальних (24) і дотичних (25) напружень, отримаємо
(27)
де? - константа Ламі, яка визначається за виразом:
(28)
Підставимо вираз (28) в рівняння (27) і запишемо,
(29)
де визначається за виразом (22), або в розгорнутому вигляді
Розділимо вираз (29) на G і наведемо подібні доданки і отримаємо перше рівняння Ламі:
(30)
де - оператор Лапласа (гармонійний ...
