ервності має місце збіжність і. Отже, з збіжності за ймовірністю випливає слабка збіжність. p> Протилежне твердження, взагалі кажучи, не має місця. Щоб переконатися в цьому, візьмемо послідовність випадкових величин,, що не рівних з імовірністю 1 постійним і мають одну і ту ж функцію розподілу F (x). Вважаємо, що при всіх п величини і незалежні. Очевидно, слабка збіжність має місце, так як у всіх членів послідовності одна і та ж функція розподілу. Розглянемо:
В
| З незалежності і однаковою распределенности величин, випливає, що
.
тобто
В
Виберемо серед всіх функцій розподілів невироджених випадкових величин таку F (x), що буде відмінно від нуля при всіх досить малих?. Тоді не прагне до нуля при необмеженому зростанні п і збіжність за ймовірністю мати місце не буде. p> 7. Нехай має місце слабка збіжність, де з імовірністю 1 є постійна. Довести, що в цьому випадку буде сходитися до по ймовірності. p> Рішення. Нехай з імовірністю 1 дорівнює а. Тоді слабка збіжність означає збіжність за будь-яких. Так як, то при і при. Тобто при і при. Звідси випливає, що для будь-якого? > 0 ймовірності
і
прагнуть до нуля при. Це означає, що
В
прагне до нуля при, тобто сходитися до по ймовірності.
2.2 Рішення задач на ЦПТ
Задача 1.
Значення гамма-функції Г (x) при x = обчислюється методом Монте-Карло. Знайдемо мінімальне число випробувань необхідних для того, що б з імовірністю 0,95 можна було очікувати, що відносна похибка обчислень буде менше одного відсотка. p> Рішення
Для з точністю до маємо
.
Відомо, що
. (1)
Зробивши в (1) заміну, приходимо до інтеграла за кінцевим проміжку:
.
У нас, тому
.
Як видно, представимо у вигляді, де, а розподілена рівномірно на. Нехай заброньований статистичних випробувань. Тоді статистичними аналогом є величина
,
де,, - незалежні випадкові величини з рівномірним на розподілом. При цьому
;
,
тому p> З ЦПТ випливає, що асимптотично нормальна з параметрами.
Далі, за умовою задачі, тобто
.
Значить,
,
звідки
,.
Значить, мінімальна кількість випробувань, що забезпечує з імовірністю відносну похибка обчислення не більше одно. br/>
Задача 2
Розглядається послідовність з 2000 незалежних однаково розподілених випадкових величин з математичним очікуванням, рівним 4, і дисперсією, рівної 1,8. Середнє арифметичне цих величин є випадкова величина. Визначити ймовірність того, що випадкова величина прийме значення в інтервалі (3,94; 4,12). p> Рішення
Нехай, ...,, ... - послідовність незалежних випадкових велич...
