я невироджена.
.2 Приведення квадратичної форми до канонічного виду
Квадратична форма
називається канонічної (інакше кажучи, має канонічний вигляд), якщо всі при .
Отже, канонічна квадратична форма має вигляд
а її матриця є діагональною.
Зауважимо, що будь-яка квадратична форма однієї змінної
є канонічною.
Квадратична форма
не є канонічною, а форма
є.
Канонічна форма називається нормальною, якщо кожен її коефіцієнт, відмінний від нуля, за абсолютною величиною дорівнює одиниці.
Наприклад, канонічна форма
є нормальною. Тут , , , .
Знаходження по даній квадратичної формі конгруентної їй канонічної квадратичної форми називається приведенням квадратичної форми до канонічного виду.
Теорема 1. Для будь квадратичної форми існує конгруентністю їй канонічна квадратична форма. p align="justify"> Доказ. Для квадратичної форми однієї змінної теорема справедлива в силу того, що невиродженим однорідним лінійним перетворенням, що переводять квадратичну форму в саме себе, є тотожне перетворення.
Для доведення теореми застосуємо метод повної математичної індукції. Припустимо, що теорема справедлива для всіх квадратичних форм змінних, де . Доведемо, що вона справедлива для квадратичної форми змінних.
Для квадратичної форми
можливі два випадки.
. Хоча б один з коефіцієнтів (при квадратах змінних) відмінний від нуля. Не порушуючи спільності, можна вважати, що . Цього завжди можна домогтися відповідної Перенумерація змінних.
У даній квадратичної формі виділимо члени, що містять , і запишемо її у вигляді
