gn="justify">
де - квадратична форма, - ї змінної. (В окремому випадку може бути квадратичною формою змінних, число яких менше .)
Вираз, що стоїть в скобці, перетворимо таким чином:
Отже,
де .
Зауважимо, що
За індуктивному припущенню, для форми існує конгруентністю канонічна форма. Отже, існує невироджене лінійне однорідне перетворення
переводящее в канонічну форму. Тоді перетворення
(23)
переводить дану квадратичну форму в канонічну:
Перетворення (23) є невиродженим, так як його матриця
невироджених. Отже,
2. Всі коефіцієнти . Цей випадок зводиться до попереднього.
Нехай деякий коефіцієнт . Існує невироджене перетворення, наприклад, перетворення
переводящее квадратичну форму (22) у квадратичну форму, у якої коефіцієнт при відмінний від нуля. Теорема доведена.
Легко показати, що в квадратичної формі (24) число коефіцієнтів , відмінних від нуля, так само рангу квадратичної форми. Тому будь-яку квадратичну форму можна привести до канонічного виду
де ; - ранг квадратичної форми.
Зауважимо, що якщо квадратична форма є невиродженому, то конгруентністю їй канонічна форма має вигляд
...
