D i ,
а її математичне сподівання
p i = M {p ​​ i } = r (a i + b i d),
де d = M {D}. Будемо вважати, що є великий обсяг даних по сукупному попиту за попередні періоди, тому можна визначати d як середнє від цих величин.
Вважаючи змінні витрати пропорційними обсягом реалізації (c - коефіцієнт пропорційності), отримуємо, що при охопленні власними підприємствами франчайзера всього сегменту, його прибуток від цього сегмента:
p n + j = (1 - c) D j - S j ,
де S j - постійні витрати. Тоді математичне сподівання прибутку:
p n + j = M {p ​​ n + j } = (1 - c) (a j + b j d) - S j . br/>
Нехай s 2 = M {(D - d) 2 } - дисперсія сукупного попиту, яку, також як і M {e i 2 }, буде вважати, усереднюючи дані по попередніх періодів. Тоді коваріаційна матриця V можливих прибутків визначається наступним чином:
якщо iГЋ [1, n] і jГЋ [1, n], то
V ij = r 2 b i b j s 2 при i В№ j, V ii = r 2 (b i 2 s 2 + M {e i 2 }),
якщо iГЋ [1, n] і jГЋ [n +1, 2n], то
V i, jn = r (1 - c) b i b jn s 2 , а V i, i + n = r (1 - c) (b i 2 s 2 + M { e i 2 }),
якщо iГЋ [n +1, 2n] і jГЋ [n +1, 2n], то
V ij = (1 - c) 2 b i b j s 2 при i В№ j, V ii = (1 - c) 2 (b i 2 s 2 + M { e i 2 }).
Решта елементи визначаються з умови V ij = V ji .
Нехай x i і x n + i - частки i-ого сектора, які обслуговуються франчайзинговими і власними підприємствами відповідно. Очевидно, що
(1) x Ві 0,
x i + X n + i ВЈ 1. br/>
Якщо визначити матрицю S = {E, E} , де E - одинична матриця розміру nxn, то остання нерівність прийме вигляд:
(2) Sx ВЈ I,
де I - вектор розмірності n, що складається з одиниць.
Позначимо через N i і N n + i витрати на створення соответстенно франчайзингових і власних підприємств, що охоплюють весь i-ий сегмент ринку. Якщо K - розмір інвестицій франчайзера в розвиток мережі, то
(3) N t x = K.
Нехай p - певний франчайзером рівень середньої очікуваної прибутку. Тоді
(4) p T x = p.
В якості міри ризику зручно взяти варіацію прибутку x T Vx .
Позначивши M T = {N, p }, h = { K, p }, завдання мінімізації ризику при обмеженнях (1) - (4) прийме вигляд
(5) min { x T Vx | Mx = h, x Ві 0, Sx ВЈ I}
Функція Лагранжа аналізованої завдання:
L ( x, l , m , n ) = x T Vx + l T (Mx - h) - m T x + n T (Sx - I) ,
де l , m Ві 0, n Ві 0 - множники Лагранжа.
З умови екстремуму = 2 Vx + l T M T - m + n T S T = 0 отримаємо:
x = ВЅ V -1 ( m - l T M T - n < sup> T S T ) .
Підставляючи цей вираз в умову Mx = h і висловлюючи звідти l , маємо:
l = (MV -1 M T ) -1 [MV -1 ( m - n T S T ) - 2 h] ,
тому з урахуванням умов доповнює нежорсткої оптимальний розподіл власних і франчайзингових підприємств системи x * знаходиться з системи (6) - (7):
(6) x * = ВЅ V -1 {M T (MV -1 M T ) -1 [ 2 h - MV - 1 ( m - n...
