ношенням на множіні А назівають всяку підмножіну прямого квадрата множини А. Відношення позначають: r.
r - відношення на множіні А
Елементи х і у, Які належати множіні А, перебувають у відношенні r, ЯКЩО (х; у)? r. Пишуть х r у - елемент х перебуває у відношенні r до елемента у.
х r у? (Х; у)? r
Нехай тоді, Наприклад, - бінарне відношення на множіні М, причому
Означення. Відношення r на множіні А назівається рефлексивним, ЯКЩО для будь-якого елемента а, Який захи множіні А, а перебуває у відношенні r до а:
Означення. Відношення r на множіні А назівається симетричним, ЯКЩО для будь-яких ЕЛЕМЕНТІВ а, b? A з того, что arb віпліває bra:
Означення. Відношення r на множіні А назівається Транзитивні, ЯКЩО для будь-яких ЕЛЕМЕНТІВ з того, что arb и brc віпліває arc:
Означення. Відношення r на множіні А назівається відношенням еквівалентності, ЯКЩО воно є рефлексивним, симетричним и Транзитивні.
3. Фактор-множини
Означення. Нехай М - Деяка НЕ ??порожня множини. Розбіттям множини М назівають всяку сукупність підмножін множини М, Які задовольняють умови:
1) Не порожні;
) НЕ перетінаються;
) про єднання якіх дорівнює М.
Елементами розбіття є підмножіні множини М. Ті підмножіні, Які утворюють розбіття множини М, назівають класами розбіття.
Теорема. Если на НЕ порожній множіні М задано відношення еквівалентності r, то Цю множини можна Розбита на класи так, что будь-які елєменти, что належати одному класу, перебувають у відношенні r, або будь-які елєменти, что належати різнім Класа, у цьом відношенні НЕ перебувають.
Означення. Розбіття множини М на класи за відношенням еквівалентності r, при якому будь-які два елєменти, Які належати одному класу розбіття, перебувають у відношенні r, а будь-які два елєменти, Які належати різнім Класа, у відношенні r НЕ перебувають, назівають фактор-множини множини М за відношенням еквівалентності r и позначають М / r.
Елементами фактор-множини є класи розбіття, Які ще назівають класами еквівалентності.
Приклади розв язання типових задач
Приклад 1. Знайте прямий добуток множини А і В, ЯКЩО: А={1, 2, 3}, B={3, 4}.
Розв язання
Приклад 2. Знайте прямий добуток множини
розвязання
Приклад 3. На множіні М=[0; 3] задано відношення еквівалентності: х r у? x має однакове цілу Частину з y. Знайте фактор-множини [0; 3] / r.
Розв язання
До класу еквівалентності, что візначається числом x? [0; 3], належати УСІ числа, Які мают однаково цілу Частину з числом. Серед усіх чисел множини [0; 3] містяться Тільки Такі цілі числа: 0, 1, 2, 3. Це означає, что фактор-множини [0; 3] / r містіть Тільки Чотири класи: [0; 1), [1 , 2), [2, 3), {3}. Фактор-множини [0; 3] / r={[0; 1), [1, 2), [2, 3), {3}}.
2.3 Відповідності. Відображення
1. Поняття відповідності. Оберн відповідність.
Композиція відповідностей
...
