ргируют точки залишатися в області аттрактора. У разі дивного аттрактора рівновагу визначається тим, як далеко можуть віддалитися значення, перш ніж повернутися до помірних межам атрактивної області. Одне з можливих пояснень дивного аттрактора на ринках капіталу пояснюється тим, що напруга породжується психологічними чи технічними факторами, але справжня вартість повертає ціни в розумний діапазон.
Тепер, нарешті, треба сказати, що ми можемо твердо оцінити надійність тільки такої системи, рівняння, руху якої нам відомі. У реальності ми ніколи не знаємо всіх змінних, з певністю включених в систему, і спираємося тільки на неповні експериментальні дані і нечіткий емпіричний аналіз. В економічних тимчасових рядах, подібних цінами фондового ринку, крім усього перерахованого вище, ще й змішуються стійкі і турбулентні стану. Ну і, звичайно, ринки зазнають впливу погано вимірюваних сил.
Відповідно до досліджень, фінансові ринки США, Англії та Німеччини мають фрактальну розмірність між 2 і 3. Японський ринок більш складний і володіє фрактальної розмірністю 3,05. Це означає, що для опису перших трьох ринків достатньо 3-х змінних, а японський потрібно моделювати в чотиривимірному просторі. Очікування ринку визначають ступінь його розігріти, а цінності ринку - межі аттрактора. Це перші дві змінні. Ринкова ліквідність акцій, мабуть, являє собою третю змінну, визначальну нелінійну динаміку ринку.
Ринок є складна динамічна система, яка розвивається, щоб вижити. Невизначеність і складність чинників, що її визначають, дозволяє їй не бути скупленої одним інвестором, після чого вона перестала б існувати. Так що треба віддати належне ринку як організму - він досягає успіху в боротьбі за виживання. Його завдання - забезпечити ліквідність акцій, а зовсім не в тому, щоб встановити справедливі ціни або гарантувати стабільність якоїсь торговельної системи. Як і у будь нелінійної системи, всі цикли ринку подібні в глобальних характеристиках і відмінні в деталях. Наприклад, будь бичачий (тенденція курсу до підвищення) або ведмежий (тенденція до зниження) ринок складається з падаючих і зростаючих цін протягом підйому і спаду бізнес-циклу. Однак причини та обставини цих коливань індивідуальні у кожного циклу. Тому важливо розуміти, що ринковий аттрактор пов'язаний зі своєрідністю бізнес-циклу, а не з торгівлею як такої.
Для інвесторів це означає, що завжди є можливості для отримання прибутку, але немає системи, яка могла б це гарантувати.
Загального ефективного з інженерної точки зору методу дослідження стійкості довільної нелінійної системи не існує.
Теоретичне рішення проблеми стійкості було дано А.М. Ляпуновим в 1891р. Основну роль тут відіграє можливість побудови спеціальної скалярної функції векторного аргументу, тобто скалярної функції на фазовому просторі системи. Ця функція називається функцією Ляпунова.
Ідея Ляпунова дуже проста, розглянемо двомірний випадок і функцію Ляпунова. Нехай є нелінійне рівняння руху в двомірному фазовому просторі
Рух буде стійким, якщо функція Ляпунова задовольняє наступним вимогам:
. Лінії рівня функції Ляпунова замкнуті;
. Функція Ляпунова неотрицательна;
. Скалярний твір градієнта функції Ляпунова та вектораскорості в будь-якій точці негативно:
;
Рис....
