сунок 2.2 - Графік функції і карта ліній рівня
2. Побудуємо графік функції і карти ліній рівня (рисунок 2.2) (на яких наочно видно, що дана система має рішення, і причому єдине) з використанням панелі Graph (малюнок 2.3).
Малюнок 2.3 - Панель Graph
3. Точки перетину ліній однакового рівня дають рішення даної системи рівнянь.
4. Задамо початкове наближення змінних :
Малюнок 2.4 - Вектор-функція, що задає систему рівнянь
5. Задамо функцію, що містить рішення системи рівнянь
Рисунок 2.5 - Функція, що повертає рішення системи методом Ньютона
6. Задамо функцію (малюнок 2.5), що реалізовує метод Ньютона (функція повертає таблицю, що містить значення координат на кожному кроці ітерації і відповідні значення координат вектор-функції).
Запустивши програму, отримаємо итерационную послідовність, яка показує, як знаходяться наближення. Тут два перші рядки - це значення і відповідно, а останні два рядки - значення даних функцій при знайдених значеннях і. У нуль функції звертаються на сьомому кроці. Значить, рішенням буде пара чисел і.
7. Перевіряємо рішення системи нелінійних рівнянь за допомогою блоку Given ... Minerr (малюнок 2.6).
Малюнок 2.6 - Перевірка чисельного рішення за допомогою вбудованих функцій пакету Mathcad
Відповідь :.
2.3 Рішення нелінійних систем методами спуску
Загальний недолік всіх розглянутих вище методів розв'язання систем нелінійних рівнянь полягає в локальному характері збіжності, що утрудняє їх застосування у випадках (досить типових), коли існують проблеми з вибором початкового наближення, що забезпечує збіжність ітераційної обчислювальної процедури. У цих випадках можна використовувати чисельні методи оптимізації - розділу обчислювальної математики, що виділяється в самостійну дисципліну. Для використання наочної геометричної інтерпретації наведених нижче міркувань і їх результатів обмежимося, як і в попередньому пункті, розглядом системи, що складається з двох рівнянь з двома невідомими:
(2.16)
З функцій, системи (2.16) утворюємо нову функцію:
(2.17)
Так як ця функція невід'ємна, то знайдеться точка (взагалі кажучи, не єдина) така що:
Малюнок 2.4 - Просторова інтерпретація методу найшвидшого спуску для функції (2.17)
Отже, якщо тим чи іншим способом вдається отримати точку
, що мінімізувала функцію і якщо при цьому виявиться, що то точка - справжнє вирішення системи (2.16), оскільки
Послідовність точок - наближень до точки мінімуму функції - зазвичай отримують по рекуррентной формулою:
(2.18)
де - вектор, який визначає напрямок мінімізації, а - скалярна величина, що характеризує величину кроку мінімізації (кроковий множник). Враховуючи геометричний зміст зав...
