ифікацію (2.7) до вихідної системи (2.1), необхідно спочатку тим чи іншим способом привести цю систему до вигляду (2.3). Це можна зробити, наприклад, помноживши (2.2) на неособенную матрицю А і перебував до обох частин рівняння вектор невідомих. Отримана система
, (2.8)
еквівалентна вихідної і має вигляд, аналогічний рівнянню в методі ітерацій в одновимірному випадку. Проблема полягає лише в правильному підборі матричного параметра.
2.2 Метод Ньютона рішення систем нелінійних рівнянь
Для рішення системи (2.3) будемо користуватися методом послідовних наближень. Припустимо, відомо е наближення
,
одного з ізольованих коренів векторного рівняння (2.2). Тоді точний корінь рівняння (2.2) можна представити у вигляді:
, (2.9)
де - поправка (похибка кореня). Підставляючи вираз (2.9) в (2.2), маємо:
. (2.10)
Припускаючи, що функція безперервно диференційовних в деякому опуклою області, що містить і, розкладемо ліву частину рівняння (2.10) за ступенями малого вектора, обмежуючись лінійними членами:
, (2.11)
або, у розгорнутому вигляді,
(2.12)
З формул (2.11) і (2.12) видно, що під похідною слід розуміти матрицю Якобі системи функцій щодо змінних, т. е.
,
або в короткій запису:
тому формула (2.12) може бути записана в наступному вигляді:
. (2.13)
Якщо те
(2.14)
Звідси видно, що метод Ньютона рішення системи (2.1) полягає в побудові ітераційної послідовності:
(2.15)
де
Якщо всі поправки стають досить малими, рахунок припиняється. Інакше нові значення. Використовуються як наближені значення коренів, і процес повторюється доти, поки не буде знайдено рішення або не стане ясно, що отримати його не вдасться.
Приклад 2.1
Знайти методом Ньютона наближене позитивне рішення системи рівнянь:
виходячи з початкового наближення.
Вважаючи:
маємо:
Звідси:
Складемо матрицю Якобі:
Маємо:
причому
Отже, матриця - неособлива. Обчислюємо зворотну їй матрицю:
За формулою (2.15) отримуємо перше наближення:
Аналогічно знаходяться подальші наближення. Результати обчислень наведені в таблиці 2.1.
Таблиця 2.1 - Послідовні наближення коренів
ixyz00, 50,50,510,8750,50,37520,789810,496620,3699330,785210,496620,36992 Зупиняючись на наближенні, будемо мати:
х =0,7852; у =0,4966; z =0,3699.
Приклад 2.2
Вирішити систему двох нелінійних рівнянь
методом Ньютона.
Рішення
Рисунок 2.1 - Завдання координатної сітки
1. Задамо координатну сітку і обчислимо значення координат і у вузлах сітки (малюнок 2.1).
Ри...
