> У будь-якому матеріальному евклідовому просторі можна ввести поняття кута між двома довільними елементами а і b цього простору. У повній аналогії з векторної алгеброю назвемо кутом? між векторами а і b той (що змінюється в межах від 0 до?) кут, косинус якого визначається співвідношенням
cos? =
Далі, два вектори a, b евклидова простору назвемо ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Знову апелюючи до векторної алгебри, назвемо суму а + b двох ортогональних векторів а і b гіпотенузою прямокутного трикутника, побудованого на елементах а і b. Зауважимо, що у всякому евклідовому просторі справедлива теорема Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Введені поняття дозволяють виділити в евклідовому просторі базиси особливого виду - так звані ортонормированного базиси.
Базис e1, e2, ... en назвемо ортонормированного, якщо він складений з попарно ортогональних векторів одиничної довжини. Це означає, що вектори задовольняють співвідношенням
, i=j
(ei, ej)=
, i? j
У всякому n-вимірному евклідовому просторі Е існує ортонормованій базис. Доказ цього факту проводять методом математичної індукції. У ході докази визначається алгоритм побудови по заданій системі n лінійно незалежних векторів попарно ортогональних векторів одиничної довжини e1, e2, ... en. Даний алгоритм називають процесом ортогоналізації.
У кожному n-вимірному евклідовому просторі Е існує багато ортонормованих базисів. Одним з них може служити декартовий прямокутний базис координатного простору Аn e1=(1,0, ..., 0), e2=(0, 1, ..., 0), ... en=(0, 0, ..., 1). У Примері 2 даного параграфа ми визначили скалярний добуток двох векторів простору Аn як суму добутків відповідних координат цих векторів.
Виявляється та ж формула буде діяти і в будь-якому n-вимірному евклідовому просторі Е, якщо тільки в ньому зафіксований ортонормованій базис, а координати всіх елементів обчислюються саме в цьому базисі (тобто знайдено розкладання елементів з цього базису). Справді, нехай будь-які два вектори а=(а1, а2, ..., аn) і b=(b1, b2, ..., bn) розкладені по ортонормированном базисі e1, e2, ... en. Тоді a =, b =, скалярний твір
(a, b)=() === a1b1 + a2b2 + ... + anbn
1.4 підпросторами. Відстань від вектора до підпростору
Для звичайного тривимірного простору добре відомий наступний факт: довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму або площину, менше довжини будь похилій. У відомому сенсі цей факт зберігається і в багатовимірних евклідових просторах. Щоб це зрозуміти, введемо ще одне важливе поняття, узагальнююче поняття прямої і площини в тривимірному просторі.
Підмножина L лінійного простору V називається лінійним подпространством (або просто подпространством) простору V в тому випадку, якщо L задовольняє наступним двом вимогам:
? Якщо елементи a і b належать L, то і сума a + b належить L.
? Якщо елемент a належить L, то і елемент? A належить L, де?- Будь-яке дійсне число.
Найпростішими прикладами підпросторів служать, так звані необгрунтовані підпростору - сам простір V і нульове підпростір.
Для всіх векторів на площині (простір В2) зазначені властивості виконані, наприклад, для множини всіх векторів, що належать деякої фіксованої прямої. У звичайному просторі зазначені властивості виконані для площині.
Заув...
