ажимо також, що всяке підпростір L саме утворює лінійний простір щодо операцій, визначених у V.
Іншим прикладом лінійного підпростору є безліч, що містить всі лінійні комбінації якоїсь сукупності елементів a, b, ... c простору V.
L={? 1a +? 2b + ... +? kc},
де? 1,? 2, ...? k - довільні скаляри.
Така безліч називають лінійною оболонкою елементів a, b, ... c. Лінійна оболонка - найменше підпростір, що містить вектори a, b, ... c.
У разі, якщо L - підпростір евклидова простору Е, можна говорити про величину відстані від будь-якого вектора y до цього підпростору. Будемо для цього розглядати довільні вектори х з L, кожен раз вимірюючи відстань між y і x довжиною різниці y - x .
Це умовно показано на малюнку.
За відстань d від вектора до підпростору приймемо мінімальну із зазначених довжин, тобто d=min? yx?, де x належить L.
Яким же повинен бути вектор з L, для якого досягається мінімум? В якості найближчого до y потрібно взяти такий вектор x 0 , щоб різниця yx 0 була ортогональна (в сенсі даного в § 3 Глави 1 визначення) будь-якому вектору з підпростору L. Можна довести, що такий вектор x 0 завжди існує і визначений однозначно. Його називають ортогональною проекцією вектора y . Наступна викладка показує, що довжина перпендикуляра yx 0 дійсно найменша:
? yx? 2=(yx, yx)=((y-x0) + (x0-x), (y-x0) + (x0-x))=(y-x0, y-x0) + 2 (x - x0, y-x0) + (x - x0, x - x0)
Згідно з вибором вектора x0 ми маємо, що (x - x0, y-x0)=0. Крім того
(x - x0, x - x0)? 0. Звідси? Y-x? 2? (Y-x0, y-x0) =? Y-x0? 2
1.5 Лінійні перетворення векторного простору
Зупинимося ще на одному з центральних понять лінійної алгебри, а саме, на лінійних перетвореннях векторного простору. Лінійним називається таке перетворення А векторного простору V, для якого виконані наступні властивості:
А (a + b)=A (a) + A (b), для будь-яких a, b з V, (? a) =? A (a), для будь-якого а з V і будь-якого скаляра?
Поворот площини навколо початку координат, проектування тривимірного простору на координатну площину дають нам найпростіші приклади лінійних перетворень.
Лінійні перетворення мають найтісніший зв'язок з матрицями. Щоб це зрозуміти, виберемо в n-вимірному просторі деякий базис e1, e2, ... en і розглянемо образи базисних векторів А (e1), A (e2), ..., A (en). Кожен з них, як і всякий вектор простору V, є лінійною комбінацією векторів базису, тому ми можемо написати
A (ej) =, для j=1,2, ... n (*)
Зіставимо тепер перетворенню А матрицю A
Помістивши в кожен її стовпець координати образів А (e1), A (e2), ..., A (en) базисних векторів в самому цьому базисі. Так, для згаданих вище прикладів лінійних?? Перетворень (повороту на кут? Та проектування на площину xOy) матриці перетворень мають вигляд відповідно
і
Матрицею А лінійне перетворення визначено однозначно: знаючи її, можна знайти образ будь-якого вектора. Дійсно, якщо b=b1e1 + b2e2 + ... + bnen, то, використовуючи властивості лінійного перетворення і розкладання (*) образу вектора по векторах базису, знаходимо:
A (b)=A (b1e1 + b2e2 + ... + b...
