y` простору V `, то елементу x + y відповідає елемент x` + y `, а елементу? x - елемент? x `при будь-якому матеріальному?. У цьому випадку нульового елементу простору R відповідає нульовий елемент простору R `. Можна довести, що будь-які два n-мірних речових лінійних простору ізоморфні. Таким чином, єдиною суттєвою характеристикою конечномерного лінійного простору є його розмірність. Можна сказати також, що всяке n-мірне лінійний простір ізоморфно n-мірному координатного простору А n.
1.3 Евклідовому лінійні простори
Наступний крок пов'язаний з введенням в просторах будь-якої розмірності скалярного твору. Воно дозволить говорити в загальній ситуації про таких (властивих евклідової геометрії) поняттях, як довжина, кут, ортогональность.
У матеріальному лінійному просторі V задано скалярний твір, якщо кожній парі його векторів a, b з V відповідає дійсне число, що позначається (a, b), і при будь-якому виборі векторів виконані наступні властивості:
. (А, b)=(b, a);
2. (A `+ a ``, b)=(a`, b) + (a ``, b)
. (? A, b) =? (A, b) для будь-якого числа?
. (A, a)? 0, причому (a, a)=0 тоді і тільки тоді, коли а=0
У цьому визначенні виділено найважливіші властивості звичайного скалярного твори геометричних векторів, з яких в якості слідства можна отримати і всі інші його властивості.
Лінійне простір, в якому задано скалярний твір, називають зазвичай евклідовому простором і позначають Є.
Підкреслимо, що при введенні поняття евклідового простору абстрагуються не лише від природи досліджуваних об'єктів, а й від конкретного виду правил освіти суми елементів, твори елемента на число і скалярного твори векторів (важливо лише, щоб ці правила задовольняли восьми аксіомам лінійного простору і чотирьом аксіомам скалярного твору).
Якщо ж природа досліджуваних об'єктів і вид перерахованих правил вказані, то евклидово простір називається конкретним.
Приклади евклідових просторів наступні.
Приклад 1. Лінійне простір У 3 всіх вільних векторів
Приклад 2. Арифметичне векторне лінійний простір А n, якщо покласти те, що для будь-якої пари векторів а=(а1, а2, ... аn), b=(b1, b2, ..., bn) з A n
(a, b)=a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + anbn
Приклад 3. безконечномірні лінійне простір З [? ,? ] Всіх функцій x (t), визначених і неперервних на сегменті?? t? ?. Скалярний добуток двох функцій x (t) і y (t) визначимо як інтеграл (в межах від? До?) Від твору цих функцій.
Для будь-яких двох векторів a і b довільного евклидова простору справедливо нерівність (a, b) 2? (a, a), (b, b), зване нерівністю Коші-Буняковського.
У будь-якому евклідовому просторі природним чином визначається довжина? a? =? (a, a). Таким чином, можна говорити, що скалярний добуток визначає «метрику» в лінійному просторі, тобто спосіб вимірювання довжин. У евклідовому координатному просторі A n з певним вище скалярним твором діє знайоме правило для обчислення довжини? A? =? A 2 січня + a 2 | 2 + ... + an 2 - довжина вектора є корінь квадратний із суми квадратів його координат.
