. 2.11. Графіки ймовірностей відмови - канальної СМО з рівномірної взаємодопомогою між каналами і -Канальний СМО без взаємодопомоги.
Рис. 2.12. Графіки залежності від коефіцієнта навантаження системи.
Як видно на рис. 2.12, що при ймовірність відмови в багатоканальної СМО без взаємодопомоги між каналами буде прагнути до імовірності відмови СМО з рівномірної взаємодопомогою між каналами, тобто є з (2.7) випливає, що
Таким чином, при рівномірної взаємодопомоги між каналами ймовірність відмови менше.
Оскільки, то і, отже,
.
Отримані нерівності показують, що з введенням рівномірної взаємодопомоги відносна і абсолютна пропускна здатності багатоканальної СМО зростають.
.3.2 Порівняння середнього часу перебування заявки та середнього числа заявок в системі
У даному пункті проведемо графічне порівняння багатоканальної СМО з відмовами з погляду середнього часу перебування заявки в -Канальний систему з відмовою, але з рівномірної взаємодопомогою між каналами.
При рівномірної взаємодопомоги зменшитися середній час перебування заявки в системі, тобто
,
Де - середній час перебування заявки в -Канальний СМО з відмовами без взаємодопомоги між каналами.
Це можна поспостерігати на рис. 2.9:
Рис. 2.13. Графіки залежності від коефіцієнта навантаження системи.
З даного рис. 2.13 видно, що різниця приймає позитивні значення, і згідно (1.9), (1.17), (1.18), (1.43), (1.50) і (1.36) дана різниця прагнути до нуля при.
І так як і, а інтенсивністю найпростішого вхідного потоку, то, значить, середнє число заявок в системі так само зменшитися:
.
Отже, в многолинейной СМО з відмовами і з рівномірної взаємодопомогою між каналами зменшиться як середній час перебування заявки в системі, так і середнє число заявок в системі.
Глава 3. Практичне застосування СМО з відмовами
.1 Рішення задач оптимізації. Знаходження оптимального числа ліній обслуговування
Розглянемо вплив граничних характеристик на ефективність функціонування СМО.
Майже всі розглянуті вище граничні характеристики ефективності функціонування СМО залежать від числа ліній обслуговування, слідчий буде доцільно розглянути задачу оптимізації многолинейной СМО з відмовами по числу ліній обслуговування.
Розглянемо багатолінійну СМО.
- витрати на утримання однієї лінії обслуговування,
-Втрати від відмови заявки
Тоді загальні витрати можна описати функцією виду:
Нам необхідно підібрати число каналів обслуговування таким чином, щоб витрати виявилися мінімальними, тобто вирішити наступну задачу оптимізації:
,
де - деяка константа, що характеризує обмеження на число каналів.
Для кожного виду СМО розглянемо вид функції:
1. СМО без взаємодопомоги:
Загальні витрати
Завдання оптимізації
2. СМО з взаємодопомогою між каналами типу всі як один
Загальні витрати
Завдання оптимізації
3. СМО з рівномірної взаємодопомогою
Загальні витрати
Завдання оптимізації
Рішенням даної задачі оптимізації є програма, написана на Delphi 7. Текст програми наведено у додатку.
У Таблиці 3.1 наведено приклади роботи даної програми. Легко помітити, що аналітичні формули, отримані в Главі 1, мають місце і на практиці.
Таблиця 3.1 Оптимальне число ліній обслуговування для СМО з відмовами
лм aСмо з отказаміВсе як одінРавномерная взаимопомощь1315010000100443231501000010066425150010000100222291501000010034389150100001007742122150100001007741215010010022213150100010022213151000010061541415100001005134141510000100510434151000010014225 3.2 Оцінка очікуваного доходу і дисперсії доходу систем масового обслуговування
Розглянемо СМО S Під її станом будемо розуміти вектор, де - число заявок в системі S в момент часу. Введемо також систему (зовнішнє середовище), з якої в систему надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю.
Розглянемо випадок, коли інтенсивність обслуговування заявок в системі S не залежить від числа заявок в ній. Нехай - ймовірність надходження заявки із системи в систему S. Очевидно, що. Потрібно знайти очікувані (середні) доходи систем за час за умови, що відомо її стан в початковий момент. При цьому спочатку будемо, припускати, що мережа функціонує в умовах високого навантаження, тобто ,.
Розглянемо динаміку зміни доходів ...
