ВСТУП
Актуальність теми. Вивчено математичні моделі, які описують явища мостиковой і дугового ерозії. Ці моделі базуються на крайових задачах для рівнянь в приватних похідних з рухомими границями, основною особливістю яких є виродження в початковий момент часу. Побудовано теорія та ефективні методи вирішення подібних завдань. Для цієї мети розроблено апарат спеціальних функцій типу Хартрі, за допомогою якого знайдені замкнуті вирішення деяких завдань з граничними умовами.
Область дослідження. З робіт, присвячених рівнянням в приватних похідних, слід зазначити роботи А.Н.Тихонова [1] і Л.К.Мартінсона [2]. У цих роботах описуються методи вирішення початкових і крайових задач для диференціальних рівнянь. С.Н. Харіним [3] запропонована і теоретично обгрунтована нова гіпотеза про можливість термокапіллярного механізму дугового ерозії, розвинена теплова теорія мостиковой ерозії електричних контактів і математичний апарат, що дозволяє визначити умови, за яких можливий оптимальний вибір композиції контактних пар з мінімальною або самоогранічівающім ерозією.
Мета. Рішення математичної моделі теплових процесів з рухомими межами методом функції Хартрі.
Методи дослідження. Розглянуто деякі типи крайових задач, що описують процеси теплопровідності. Для цих завдань розроблено метод розв'язання. За допомогою функції Хартрі знаходиться вирішення крайової задачі в замкнутому вигляді. Для визначення коефіцієнтів рішення підставляється в граничні умови й умови сполучення. Порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях, були отримані системи рівнянь і знайдені невідомі коефіцієнти.
Новизна дослідження. Вирішено рівняння для математичної моделі з рухомої кордоном при граничних умовах функцією Хартрі.
Практична цінність дослідження. Отримані результати будуть застосовані в теорії низькотемпературних електродугових плазмах і комутаційних процесах в електричних апаратах. Подальше вивчення функии Хартрі допоможе при обчисленні завдань, пов'язаної із замкнутою математичною моделлю електричної дуги, яка враховує взаємодію пріелектродних, внутріелектродних і дугових явищ і при вирішенні завдань.
Зміст і обсяг дипломної роботи. Дипломна робота складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаної літератури. Обсяг дипломної роботи - 73 сторінки.
1 розв'язків крайових задач МЕТОДОМ ФУНКЦІЇ Хартрі
. 1 Про один узагальненні функції помилок
Цей розділ присвячений введенню спеціальних методів, за допомогою яких вирішуються рівняння теплопровідності в областях з фіксованими і рухомими межами. Теплові рівняння вирішуються c допомогою функції помилок і її властивостей, які були введені Хартрі в 1935 році і званою функцією Хартрі [4]. Як буде показано надалі, метод може бути використаний для вирішення першої, другої [5] і третьої [6] крайових задач для рівнянь теплопровідності з нерухомими і рухливими, кінцевими, напівнескінченної і нескінченними кордонами.
Функція помилок визначається рекурентними формулами
(1.1.1)
.
Для доказу формули (1.1.1) розглянемо випадок, коли n=1:
.
Звідси, застосовуючи формулу інтегрування частинами
,
матимемо
.
Перший доданок при прагне до прагне до нуля, тобто застосовуючи правило Лопіталя, отримаємо
.
Тоді
. (1.1.2)
Тепер розглянемо випадок при n=2:
. (1.1.3)
Аналогічно застосовуючи до правої частини останнього виразу формулу інтегрування частинами
,
отримаємо
,
Перший доданок при прагне до прагне до нуля, тобто застосовуючи правило Лопіталя, отримаємо
.
Тоді
. (1.1.4)
Далі, позначаючи другий доданок за I і застосовуючи ще раз формулу інтегрування частинами
,
матимемо
,
підставляючи останній вираз в (1.1.4), отримаємо
(1.1.5)
Аналогічним чином, провівши інтегрування частинами n-раз у виразі (1.1.1) і використовуючи рівності (1.1.2), (1.1.5) можна довести необхідну формулу
.
Опції помилок, що визначаються формулою (1.1.1), задовольняють диференціального рівняння
. (1.1.6)
Щоб показати рівність (1.1.6), знайдемо похідні від функції помилок, що визначаються формулою (1.1.1):
, (1.1.7)
. (1.1.8)
Використовуючи значення знайдених похідних, застосуємо формулу інтегрування до правої частини виразу (1.1.8)
,
