>. (1.1.9)
Підставляючи вирази (1.1.7) - (1.1.9) в рівняння (1.1.6), матимемо
(1.1.10)
Таким чином, показали, що вираз (1.1.10) задовольнять диференціальному рівнянню (1.1.6).
Опції помилок, що визначаються формулою (1.1.1), а також задовольняють рекуррентной формулою
. (1.1.11)
Опції Хартрі (іноді їх називають інтегральними функціями помилок) виявилися вельми зручним апаратом при дослідженні процесів теплопровідності і дифузії, описуваних уравненіем14
, (1.1.12)
в областях з рухомими межами.
Покажемо, що функція, обумовлена ??рівністю:
задовольняє рівнянню (1.1.12).
Знайдемо похідні по і по два рази:
,
;.
Знайдені похідні по два рази і по один раз від функції підставляємо в рівняння (1.1.12), отримаємо тотожність
.
Тим самим, ми показали, що функція задовольняє рівнянню (1.1.12).
За допомогою фундаментального рішення рівняння (1.1.12) можна показати, що функція виду
(1.1.13)
також задовольняє рівнянню (1.1.12).
Для цього використовуючи функцію Хартрі, функцію виду (1.1.13) представимо так:
, (1.1.14)
Звідси знайдемо похідні по і по два рази:
,
,
,
запишемо похідні, використовуючи функцію помилок
, (1.1.15)
,, (1.1.16)
Підставляючи отримані вирази (1.1.14) і (1.1.15) в рівняння (1.1.12), отримуємо
,
.
Тобто на підставі рекуррентной формули (1.1.11), можна показати, що функція (1.1.14) задовольняє рівнянню (1.1.12).
Представляючи рішення рівняння (1.1.11) у вигляді
,
можна постійні і вибрати так, щоб задовольнити граничним функціям при і: якщо тільки ці функції розкладаються в ряд Тейлора за ступенями або.
Пізніше функції Хартрі були узагальнені на випадок нецілого, а також негативного індексу, докладно вивчена їх асимптотика і вирішено ряд завдань. Зазначимо деякі властивості функцій Хартрі, не приведені у цитованих вище роботах.
1. Для натурального n справедливе співвідношення
,
де в правій частині -мнімая одиниця, - поліном Ерміта. Справді, використовуючи формули (1.1.1), можна записати:
.
Користуючись поданням для поліномів Ерміта, маємо:
(1.1.17)
2. Доказ рівності
(1.1.18)
Проводиться методом індукції з використанням рекурентної формули (1.1.8). Виробляючи диференціювання в правій частині (1.1.18), отримаємо:
, (1.1.19)
де поліноми і визначаються за формулами
.
Від (1.1.18), (1.1.19) можемо записати наступні явні вирази для функцій Хартрі цілого індексу:
, (1.1.20)
. (1.1.21)
Використовуючи правило Лопіталя і твердження (1.1.1), неважко показати що
. (1.1.22)
Успішне використання функції Хартрі для рівнянь (1.1.12) призводить до природного питанню: чи не можна ввести аналогічні функції для вирішення різних питань? Для відповіді на питання розглянемо рівняння
Якщо відомо, що воно має наступні два лінійно незалежні рішення
де - вироджена гіперболічна функція. Вважаючи, де, знайдемо, чтоудовлетворяет рівнянню
.
Користуючись ці рівнянням, неважко перевірити, що функція
(1.1.23)
задовольняє рівнянню
(1.1.24)
Таким чином, функції
(1.1.25)
задовольняє рівнянню (1.1.24). Їх послідовна лінійна комбінація може бути записана через вироджену гіпергеометричну функцію другого роду:
.
Опції зручно використовувати в обмежених областях, а - в необмежених.
Користуючись поданням
, (1.1.26)
можна показати, що
(1.1.27)
Розглянемо окремі випадки,
). Плоский випадок. Використовуючи формули (1.1.25), (1.1.1) і обчислюючи інтеграл у правій частині, можна показати, що
(1.1.28)
(1.1.29)
т.е. в цьому випадку гіпергеометрична функція виражається через плоскі функції Хартрі (1.1.1), а функції
(1.1.30)
(1.1.31)
задовольняє рівнянню (1.1.12).
). Циліндричний випадок. Тут обидві функції (1.1.25) збігаються:
.
Розклавши гіпергеометричну фігуру в ряд
,
можемо укласти, що при цей ряд обривається і перетворюєть...
