1. Обчислити визначник
Домножим перший рядок на (- 1) і складемо з третьою, домножимо перший рядок на (- 2) і складемо з четвертої
матриця рівняння формула математичний
2. Виконати дію над матрицями. Дано дві матриці А і В. Знайдіть: АВ; ВА, АА - 1; В - 1В.
Обчислимо обернену матрицю А - 1.
Нехай маємо невироджених матрицю:
. Тоді
Де Аij - алгебраїчне доповнення елемента aij определителе матриці А, яке є твором (- 1) i + j на мінор (визначник) другого порядку, отриманий викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця определителе матриці А.
Обчислимо визначник і алгебраїчні доповнення
- отже матриця А має зворотну матріцуА - 1.
Обчислимо визначник і алгебраїчні доповнення
отже матриця В має зворотну матріцуВ - 1.
. Вирішити систему лінійних рівнянь
а) за формулами Крамера
б) методом Гауса
в) за допомогою оберненої матриці
Виконати перевірку.
Рішення:
а) за формулами Крамера
Знайдемо визначник матриці:
- значить система має рішення.
тепер скористаємося формулами Крамера:
Отримуємо:
в) методом Гауса.
Запишемо розширену матрицю
другий рядок множитимемо на (- 2) і складемо з першою, другий рядок множитимемо на (- 4) і складемо з третього.
Помножимо перший рядок на (- 2) і складемо з третьою, множитимемо перший рядок на (2/8) і складемо з другою.
Помножимо третій рядок на (15/9) і складемо з першою, множитимемо третій рядок на (- 1/4) і складемо з другою.
Помножимо другий рядок на (6) і складемо з третьою, потім множитимемо другий рядок на (- 14) і складемо з першою.
Отримуємо:
в) за допомогою оберненої матриці
Позначимо через А - матрицю коефіцієнтів при невідомих; Х - матрицю-стовпець невідомих Х1, Х2, Х3; Н - матрицю-стовпець вільних членів:
,,
З урахуванням цих позначень дана система приймає наступну матричну форму:
А? Х=Н.
Якщо матриця не вироджена (її визначник відмінний від 0), то вона має зворотну матрицю А - 1. Х=А - 1? Н.
Для знаходження рішення системи рівнянь необхідно обчислити обернену матрицю А - 1.
Нехай маємо невироджених матрицю:
. Тоді
Де Аij - алгебраїчне доповнення елемента aij определителе матриці А, яке є твором (- 1) i + j на мінор (визначник) другого порядку, отриманий викреслюванням i-го рядка і j-го стовпця определителе матриці А.
Обчислимо визначник і алгебраїчні доповнення
и- отже матриця А має зворотну матріцуА - 1.
Тепер можемо знайти рішення даної системи:
Х=А1? Н=
Значить:
Відповідь: (0,5; 1/3; - 0,25)
. У декартовій прямокутній системі координат дано вершини піраміди А, В, С, D.
Знайти:
) модулі векторів виходять з точки D;
) рівняння площини АВС;
) рівняння сторін трикутника АВD;
) рівняння прямої що проходить через точку D перпендикулярно площині АВС;
) обсяг піраміди з вершиною в точці D;
) площа трикутника АВС;
) зробіть креслення.
Рішення:
. Відстань d між точками М1 (х1; у1; z1) і М2 (х2; у2; z2), визначається за формулою:
Знайдемо модулі векторів
. Рівняння площини що проходить через три точки М0 (х0; у0; z0), М1 (х1; у1; z1) і М2 (х2; у2; z2), має вигляд:
- рівняння межі АВС.
. Рівняння прямої що проходить через точки М1 (х1; у1; z1) і М2 (х2; у2; z2), має вигляд:
Знайдемо рівняння прямої DA:
- рівняння прямої DA.
Знайдемо рівняння прямої DВ:
- рівняння прямої DВ.
Знайдемо рівняння прямої AB:
- рівняння прямої AВ.
. рівняння висоти, опущеної з вершини D на грань АВС
Пряма проходить через точку М0 (х0; у0; z0) і перпендикулярна площині Ах + Ву + Сz + D=0 представляється рівнянням
- рівняння шуканої висоти.
. обсяг піраміди АВСD
Обсяг піраміди дорівнює 1/6 обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах, як на сторонах. Обсяг паралелепіпеда знайдемо, використовуючи змішаний твір векторів:
Якщо дано точки М1 (х1; у1; z1) і М2 (х2; у2; z2), то координати вектора знаходяться наступним чином:
