КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 1
1. Знайти рівняння гіперболи, якщо речова піввісь дорівнює 5, і вершини ділять відстані між центром і фокусами навпіл.
Будемо вважати, що центр гіперболи збігається з початком координат, а фокуси лежать на осі Ох ; тоді її рівняння має канонічний вигляд:, де a - речова піввісь, а b - уявна піввісь. За умовою,, тобто. З останнього рівняння неважко знайти уявну піввісь:
Шукане рівняння гіперболи:
, тобто
2. Дослідити криву другого порядку і побудувати її.
квадратичної форми, що стоїть в лівій частині даного рівняння, наводимо до головних осей. Для цього записуємо матрицю цієї квадратичної форми і знаходимо її власні числа і власні вектори.
.
Так як власні числа мають різні знаки, то дане рівняння визначає гіперболу. Знайдемо власні вектори матриці А.
Нехай власному числу відповідає власний вектор
Тоді
Якщо те
Нормуємо вектор отримуємо одиничний власний вектор По властивості власних векторів симметрического лінійного оператора, другий власний вектор ортогонален вектору Виберемо вектор таким чином, щоб базис був правим. Від старого базису перейдемо до нового базису.
Матриця переходу має вигляд
Старі координати пов'язані з новими співвідношеннями
т.е.
У новому базисі матриця даної квадратичної форми має вигляд:
У новій системі координат рівняння даної кривої має наступний вигляд:
або
або.
Перетворимо останнє рівняння наступним чином:
.
Ясно, що речова піввісь гіперболи, а уявна піввісь. Зробимо перетворення паралельного переносу системи координат в новий початок за формулами
У системі координат гіпербола має рівняння. Вісь спрямована по прямій, тобто , А вісь спрямована по прямій, тобто. Координати точки, що є центром симетрії гіперболи, знаходимо, вирішуючи систему рівнянь
Отримуємо:, тобто.
асимптотам гіперболи є прямі
Побудуємо гіперболу.
Обчислити межа числової послідовності.
3. Обчислити межа функції
4. Обчислити межа функції.
(Були використані співвідношення еквівалентності ~, ~ t , ~ t при).
5. Обчислити межа функції.
.
6. Обчислити межа функції.
7. Виходячи з визначення похідної, знайти.
.
(Ми скористалися тим, що твір нескінченно малої величини на обмежену є величина нескінченно мала).
8. Скласти рівняння нормалі до кривої в точці з абсцисою
Останній результат означає, що дотична, проведена до даної кривої в точці з абсцисою, горизонтальна. Отже, нормаль, проведена до даної кривої в цій точці, вертикальна; звідси - її рівняння:.
9 . Знайти похідну.
.
10. Знайти похідну.
.
.
11. Знайти похідну.
12. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, що відповідає значенню параметра.
, .
,
.
Тепер можна скласти рівняння дотичної та нормалі до даної кривої в точці, що відповідає значенню параметра, за загальним правилом. Рівняння дотичної:
, або.
Рівняння нормалі:
, або.
13. Знайти похідну n - го порядку функції
.
Неважко помітити, що. Доведемо це методом математичної індукції.
Нехай це вже доведено при, тобто. Тоді
.
Таким чином, доказувана рівність виявилося вірним і при, значить, воно вірно при будь-якому натуральному.
14. Знайти похідну другого порядку від функції:
.
15. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.
Функція визначена і неперервна в усіх точках числової осі, крім. У точці функція має нескінченний розрив з обох сторін. Пряма є двосторонньою вертикальної асимптотой графіка. Функція не є ні парною, ні непарною.
звідси вже випливає, що пряма є асимптотой графіка при
при - в цьому проміжку функція зростає;
при і при - в цих проміжках функція спадає;
при (точка мінімуму);
при і при - в цих проміжках графік звернений опуклістю вниз;
при - в цьому проміжку графік зв...
