ернений опуклістю вгору.
при - точка перегину графіка;
Побудуємо графік функції.
16. Дослідити функцію і побудувати її графік.
Функція визначена і неперервна в усіх точках числової осі, крім. У точці функція має нескінченний розрив з обох сторін. Пряма є вертикальною асимптотой графіка. Функція не є ні парною, ні непарною.
З цих співвідношень випливає, що при графік не має асимптоти, а при графік має асимптоту
при - в цьому проміжку функція зростає;
при і при - в цих проміжках функція спадає;
при (точка мінімуму);
при - в цьому проміжку графік звернений опуклістю вниз;
при - в цьому проміжку графік звернений опуклістю вгору;
Побудуємо графік функції.
17 . Дана система лінійних рівнянь. Потрібно: 1) знайти її рішення використовуючи правило Крамера; 2) записати систему в матричній формі і вирішити її за допомогою оберненої матриці; 3) вирішити систему методом Гаусса.
Вирішимо дану систему за правилом Крамера.
Запишемо тепер систему в матричній формі і вирішимо її за допомогою оберненої матриці.
де алгебраїчне доповнення елемента матриці А
тобто
Вирішимо систему методом Гаусса.
18. Знайти спільне рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь і ранг матриці коефіцієнтів.
Зробимо еквівалентні перетворення розширеної матриці системи:
.
На 1-му етапі до 1-ї та до 2-ї рядку була додана 5-й рядок, помножена на (), до третього рядку була додана 5-й рядок, помножена на (), а до 4-му рядку була додана 5-й рядок, помножена на (). На 2-му етапі до 2-ї рядку була додана 4-й рядок, помножена на (), а до третіх рядку була додана 4-й рядок, помножена на ().
Ранг останній розширеній матриці дорівнює рангу відповідної основної матриці і дорівнює 3, оскільки обидві вони містять мінор третього порядку, що не рівний нулю:
а всі мінори 4-го порядку дорівнюють нулю, оскільки містять нульовий рядок. Отже, дана система сумісна і має нескінченну безліч рішень, причому два невідомих є вільними.
Система, відповідна останньої матриці, має вигляд:
Вважаючи і вільними невідомими, виразимо через них інші невідомі, тобто знайдемо спільне рішення системи:
Загальне рішення можна записати у вигляді:
де - довільні постійні.
КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 2
1. Обчислити інтеграл.
Інтегрування по частинах:
2. Обчислити інтеграл
Виділимо раціональну частину даного інтеграла, користуючись формулою Остроградського.
.
;
.
Вирішимо отриману систему рівнянь методом Гаусса.
.
Таким чином,
Для обчислення останнього інтеграла представимо подинтегральную дріб у вигляді суми простих дробів методом невизначених коефіцієнтів.
.
Вирішимо цю систему рівнянь методом Гаусса.
Отже,
.
3. Обчислити інтеграл
Уявімо подинтегральную дріб у вигляді суми простих дробів методом невизначених коефіцієнтів.
Вирішимо отриману систему рівнянь методом Гаусса.
.
Таким чином,
.
4. Обчислити інтеграл
Виділимо раціональну частину даного інтеграла, користуючись формулою Остроградського.
.
.
.
Вирішимо отриману систему рівнянь методом Гаусса.
.
Таким чином,
.
5. Обчислити інтеграл
.
.
Підстановка:
6. Обчислити інтеграл
подинтегрального вираз має вигляд тобто є біноміальним диференціалом. Тут
- ціле число, тобто це третій випадок интегрируемости. Виконуємо підстановку:
Тоді
7. Обчислити інтеграл
.
8. Обчислити інтеграл
.
Підстановка:
.
9. Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій і
Зробимо креслення.
Як видно з креслення, площа даної фігури є різницею площ криволінійних трапецій, тому її можна знайти за допомогою інтеграла:
(кв. од.). ...
