.
Таким чином, загальний вигляд всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є, де,, - будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел,.
Перше з рівнянь (3) у випадку, називається рівнянням Бесселя. Вважаючи в цьому випадку, позначаючи незалежну змінну буквою (замість), а невідому функцію - буквою (замість), знайдемо, що рівняння Бесселя має вигляд:
. (4)
Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє велику роль у додатках математики. Функції, йому задовольняють, називаються Беселевих, або циліндричними, функціями.
2. Беселевих функції першого роду
Будемо шукати рішення рівняння Бесселя (4) у вигляді ряду (по теоремі про розкладання в узагальнений статечної ряд):
.
Тоді
,
,
,
.
Отже, приходимо до вимогу
або до нескінченної системи рівнянь
,
яка розпадається на дві системи:
Перша з них задовольниться, якщо взяти ... У другій системі можна взяти довільно; тоді ... однозначно визначаються (якщо не є цілим від'ємним числом). Взявши, (Г-гамма-функція Ейлера) знайдемо послідовно:
,
,
,
і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:
Цей ряд, формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області (у разі цілого в області).
Функція
(5)
називається Беселевих функцією першого роду з індексом. Вона є одним з рішень рівняння Бесселя (4). У разі цілого невід'ємне індексу отримаємо:
, (5`)
* Г-функція є гомоморфним продовженням послідовності факториалов для будь-якого натурального n: Г (n)=(n - 1)! і, зокрема,
. (5``)
3. Загальне рішення рівняння Бесселя
У разі нецілого індексу функції і є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, так як початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені. Таким чином, у разі нецілого індексу загальне рішення рівняння Бесселя є:
. (6)
Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена ??формулою (5) (враховуючи, що дорівнює нулю для ...), приймає вигляд:
(5```)
або, після заміни індексу підсумовування на,
, (7)
звідки видно, що задовольняє разом з рівнянню Беселя
.
Але формула (6) у разі цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).
Вважаючи
(- не ціла) (8)
і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:
, (8`)
отримаємо функцію, що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від (у разі, де - ціле). Функція називається Беселевих функцією другого роду з індексом. Загальне рішення рівняння Бесселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:
. (9)
4. Функції Бесселя напівцілого порядку
Хоча в загальному випадку функції Бесселя немає виражаються через елементарні функції, в окремому випадку напівцілого порядку це можливо:
, (10)
Решта порядки можуть бути отримані за допомогою рекурентного співвідношення:
. (11)
5. Деякі диференціальні рівняння, що приводяться до рівняння Бесселя
. Ще одним добре відомим рівнянням даного класу є модифіковане рівняння Бесселя , яке виходить з регулярного рівняння Бесселя заміною x на? ix . Це рівняння має вигляд:
2 2 + v2)=0 (12)
Рішення даного рівняння виражається через так звані модифіковані функції Бесселя першого і другого роду :
(13)
де Iv ( x ) і Kv ( x ) позначають модифіковані функції Бесселя, відповідно, першого і другого роду.
2. Диференціальне рівняння Ейрі , відоме в астрономії та фізики, записується у вигляді:
(14)
