+ at=c 2 .
Вводимо, як зазвичай нові змінні:
? =x + at , ? =x - at .
Рівняння коливань струни перетворимо до вигляду:
? ? =0 (3)
Знайдемо загальний інтеграл останнього рівняння. Очевидно, що для всякого рішення рівняння (3)
u n (?, ? )= f * ( ? )
де f * ( ? ) - деяка функція тільки змінного ? . Інтегруючи цю рівність по ? при фіксованому ?, отримаємо:
(?, ? )= f 1 ( ? ) + f 2 (? ) (4)
Повертаючись до вихідним змінним ( x, t ), отримуємо:
u ( x, t )= f 1 ( x + at ) + f 2 ( x - at ) (5)
дана функція є загальним інтегралом рівняння (1)
Визначимо функції f 1 і f 2 таким чином, щоб задовольнялися початкові умови. Для цього підставимо спільне рішення в початкові умови (2):
(6)
(7)
Інтегруючи друга рівність, отримаємо:
де х 0 і С-постійні.
З отриманих рівностей знаходимо:
(8)
Таким чином, ми визначили функції f 1 і f 2 через задані функції ? і ? . Підставляючи в (5) знайдені значення отримаємо:
( x, t )= f 1 ( x + at ) + f 2 ( x - at )
(9)
Формула (9) називається формулою Даламбера.
Вона визначає рішення задачі Коші для хвильового рівняння.
1.2 Неоднорідне рівняння
Розглянемо задачу Коші для неоднорідного рівняння коливань
tt =u xx + f (x, t), -? lt; х lt;?, t gt; 0 t gt; 0
-? lt; х lt;?, ( 1)
Нехай w f ( x, t, ) - рішення допоміжної задачі Коші.
(2)
(3)
Формула Даламбера (9. пункт 1) дає:
(4)
Перепишемо формулу Даламбера (9. Пункт 1) у вигляді
(5) де
є рішеннями задачі (2), (3) при =0 і f= ? (х), f= ? (х) відповідно, оскільки безпосереднє диференціювання показує, що
Доведемо, що справедлива наступна лема:
Рішення неоднорідного рівняння (1) з нульовими початковими даними u t ( x, 0) - 0, u (x , 0)=0 має вигляд
u (х , t)=a 2 f (x, t; ) d ( 6)
Диференціюючи функцію (6) і враховуючи умови (3), знаходимо
(7)
Звідси видно, що функція (6) задовольняє рівнянню (1). Рішення завдання (1) можна представити у вигляді
(8)
Користуючись виразом (4), отримаємо:
(9)
Пряма підстановка (9) в (1) показує, що функція (9) справді є рішенням задачі (1), якщо існують похідні ? (х), ? (х) і df/dx.
З формули (4) випливає, що функція wf задовольняє рівнянню при t =, якщо f ди...
