відповідь на питання про існування та єдиності розв'язку звичайного диференціального рівняння має цілком вичерпну відповідь (теорема Пікара - Лінделефа), для рівняння в приватних похідних однозначної відповіді на це питання немає. Існує загальна теорема (теорема Коші-Ковалевської), яка стверджує, що задача Коші для будь-якого рівняння в приватних похідних, аналітичного щодо невідомих функцій та їх похідних має єдине аналітичне рішення. Тим не менше, існують приклади лінійних рівнянь в приватних похідних, коефіцієнти яких мають похідні всіх порядків і не мають рішення (Леві (1957)). Навіть якщо рішення існує і єдино, воно може мати небажані властивості, наприклад, бути нестійким.
Розглянемо послідовність задач Коші (залежну від n) для рівняння Лапласа:
(2.1)
з початковими умовами:
; (2.2)
, (2.3)
де n - ціле. Похідна від функції u по змінній y рівномірно прагне до 0 по x при зростанні n, однак рішенням рівняння є
. (2.4)
Рішення прагне до нескінченності, якщо nx не кратне? для будь-якого ненульового значення y. Задача Коші для рівняння Лапласа називається погано поставленої або некоректної, так як немає безперервної залежності рішення від початкових даних.
3. Основні рівняння математичної фізики
.1 Хвильове рівняння
Однорідне хвильове рівняння - диференціальне рівняння з приватними похідними, що описує просторовий процес поширення збурень у деякому середовищі:
, (3.1)
де - просторові змінні, t - час, - шукана функція, що характеризує обурення в точці в момент t, - швидкість поширення обурення (хвильова швидкість).
Це найпростіше рівняння гіперболічного типу. Існують також відповідні неоднорідні рівняння (у правій частині яких додані відомі функції) - телеграфні рівняння та ін. Рівняння і системи цього типу з'являються при аналізі різних коливань і хвильових процесів. Властивості рівнянь і систем гіперболічного типу багато в чому аналогічні властивостям приведених (найпростіших) рівнянь.
Хвильове рівняння є одним з основних рівнянь математичної фізики і широко використовується в додатках. Якщо залежить тільки від двох (однієї) просторових змінних, то хвильове рівняння спрощується і називається двовимірним (одновимірним).
Малі вільні коливання струни описуються одновимірним хвильовим рівнянням:
. (3.2)
У двовимірному випадку описує малі коливання мембрани (пластини).
.2 Рівняння теплопровідності
Рівняння теплопровідності - диференціальне рівняння з приватними похідними параболічного типу, що описує процес поширення теплоти в суцільному середовищі (покояться газах, рідинах і твердих тілах), це одне з основних рівнянь математичної теорії. Рівняння теплопровідності висловлює тепловий баланс для малого елемента об'єму середовища з урахуванням надходження теплоти від джерел і теплових втрат через поверхню елементарного об'єму згодом теплопровідності. Для ізотропної неоднорідного середовища рівняння має вигляд:
, (3.3)
де p - щільність середовища, - теплоємність середовища при постійному об'ємі, t - час, - координати, - шукана температура, - коефіцієнт теплопровідності, - задана щільність теплових джерел. Величини - залежать від координат і температури.
Для анізотропного середовища рівняння теплопровідності замість містить тензор, де
У разі ізотропної однорідного середовища рівняння теплопровідності приймає вигляд:
, (3.4)
де - оператор Лапласа, - коефіцієнт теплопровідності,. У стаціонарному стані, коли температура не змінюється з часом, воно переходить в рівняння Пуассона або, при відсутності джерел теплоти в рівняння Лапласа.
Основними завданнями для рівняння теплопровідності є задача Коші та змішана крайова задача.
.3 Рівняння Пуассона і Лапласа
Рівняння Пуассона - еліптичну диференціальне рівняння в приватних похідних, яке, серед іншого, описує:
· електростатичне поле,
· стаціонарне поле температури,
· поле тиску,
· поле потенціалу швидкості в гідродинаміці.
Це рівняння має вигляд:
, (3.5)
де - оператор Лапласа або лапласіан, - дійсна або комплексна функція на деякому різноманітті.
У тривимірної декартовій системі координат рівняння зокрема приймає форму:
(3.6)
або
, (3.7)
де - оператор Гамільтона ( Набла ).
Якщо f прагне до нуля, то рівняння Пуассона перетворюється в рівняння Лапласа (рівняння Лапласа - окремий випадок рівняння Пуассона):
. (3.8)
У тривимірному просторі рівняння...
