Курсова робота
Моделювання динаміки дворівневої системи у змінному зовнішньому полі
Завдання курсової роботи
Ознайомлення з концепцією управління квантовими системами на прикладі простих квантових систем.
Конкретні цілі, поставлені в даному семестрі:
. Вивчення літератури за тематикою курсової роботи.
. Вивчення методів управління квантовими системами. Управління дворівневої квантовою системою. Чисті та змішані стану квантової системи (Хвильова функція і матриця щільності). Фазовий простір дворівневої системи (Сфера Блоха).
Етапи виконання курсової роботи:
1. Ознайомлення з поняттям матриці щільності по книзі Ландау Л.Д. т.3. Формалізм рівняння Ліувілля.
. Вивчення глав книги Бурштейн А.І. Квантова кінетика ч.1, гл.1.
. Вивчення глав книги Блум К. Теорія матриці щільності гл. 1-2.
. Моделювання динаміки ДУ.
Зміст
1.Теоретіческая введення
Чисельність рішення
.Аналітіческое рішення
.Аналіз
Висновок
Список літератури
Додаток
. Теоретичне введення
Почнемо розгляд з дворівневою схемою, що має гамильтониан:
(1.1)
Запишемо рівняння Шредінгера для амплітуд? 0 основного стану, відповідних енергії Е0 і вектору стану? 0 gt ;. Амплітуду, енергію і вектор збудженого стану позначимо через? 1, Е1 і? 1 gt ;, відповідно. Рівняння Шредінгера з гамильтонианом має вигляд
(1.2)
Що станеться при включенні зовнішнього періодичного електромагнітного поля з амплітудою Е і частотою? , Близькою до частоти переходу? ~ (- Е0)/?, якщо оператор взаємодії в гамільтоніані є твір Е? ? напруженості поля Е? =Есоs (? T) і оператора дипольного моменту переходу ?? Як це зазвичай має місце в оптиці, припустимо, що оператор дипольного моменту має дійсні недіагональні матричні елементи d=(0 |? | 1), а діагональні матричні елементи відсутні. Тоді рівняння Шредінгера приймає вигляд
(1.3)
Застосуємо до рівняння так зване наближення обертової хвилі, яким зручно користуватися у випадку, коли відбудова? =(Е1 - Е0) /?-? частоти поля від частоти переходу (Е1 - Е0) /? відносно мала? lt; ?.
Фази квантових станів відраховуються при цьому від фази поля? t. Підставами в рівняння амплітуди основного та збуджених станів у вигляді
? 1=е - i? T? 1,? 0 =? 0 (1.4)
і скористаємося формулою соs (? t) =? (е i? t + е - i? t). У підсумку отримаємо
(1.5)
Якщо покласти Е 0=0 і ввести більш короткий позначення V для твори dE/2, то після множення першого рівняння на е i? t система рівнянь приймає вид
(1.6)
В подальшому, для скорочення запису будемо також вважати?=1. Зауважимо, що характерні величини похідних за часом від амплітуд? 1 і? 0 в рівняннях можуть бути або порядки величини взаємодії V, або порядку відбудови? =(Е1 -?) Коли її значення перевищує V, і, значить, поблизу резонансу? lt; lt; ? вони багато менше частоти зовнішнього поля?. Це дозволяє нам не враховувати у швидко осцилюючі доданки Vе 2 i? T, які при усередненні дають пренебрежимо малі вклади, приводячи до наступної системи
(1.7)
Розглянемо тепер рішення верхніх рівнянь, що задовольняє початковим умовам
(1.8)
Одним з основних інструментів вирішення таких завдань є метод, відомий як перетворення Фур'є-Лапласа або як перетворення Фур'є узагальнених функцій. Суть даного методу полягає в наступному. У звичайному перетворенні Фур'є потрібно, щоб розглянута функція убувала при t? ± ?. В іншому випадку перетворення Фур'є похідною? (?), Яке позначають як F [? (T)], відрізняється від помноженого на частоту перетворення Фур'є вихідної функції, тобто? (?)? i? у (t). Тому розглядають розривні функції? , Які дорівнюють нулю при t lt; 0, а при t gt; 0 збігаються з рішеннями системи (1.7), що відповідають початковим умовам (1.8). Таким чином, функція? 0 (?) Розривна при t=0, де відбувається її стрибок від величини? 0=0 до? 0=1. Очевидно, що похідна? 0 дорівнює нескінченності або, більш...
